Seja
a região delimitada pelas curvas
e
.
a. Represente a região
.
b. Escreva uma integral que representa o volume do sólido de revolução obtido ao rotacionarmos a região
em torno da reta
.
c. Escreva uma integral que representa o volume do sólido de revolução obtido ao rotacionarmos a região
em torno da reta
.
Obs.: não é necessário calcular as integrais nos itens (b) e (c).
a. Represente a região
b. Escreva uma integral que representa o volume do sólido de revolução obtido ao rotacionarmos a região
c. Escreva uma integral que representa o volume do sólido de revolução obtido ao rotacionarmos a região
Obs.: não é necessário calcular as integrais nos itens (b) e (c).
Passo 1
O enunciado dá duas curvas em coordenadas cartesianas e pede três coisas:
- Representar a região
limitada pelas curvas e . - Escrever uma integral que represente o volume do sólido obtido ao girar
em torno da reta vertical . - Escrever uma integral que represente o volume do sólido obtido ao girar
em torno da reta horizontal .
Informações relevantes fornecidas:
- A primeira curva é a reta
. - A segunda curva é a parábola
(observe que ). - A região
é o conjunto de pontos que ficam entre essas duas curvas (limitada por elas).
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção (essas serão os limites em
para integrar facilmente). Igualamos as duas expressões de
:
Colocando todos os termos no mesmo lado:
Resolver a quadrática:
Logo os pontos de interseção ocorrem em
Passo 3
Determinar, para
entre
e
, qual curva fica à esquerda e qual à direita (isto define as fronteiras horizontais do segmento em cada valor de
). Calcular a diferença
Para
esse produto satisfeito faz com que a expressão seja
. Portanto
Isto significa: a parábola
é a fronteira esquerda e a reta
é a fronteira direita, para
entre
e
.
Passo 4
Representação da região
(descrição geométrica e fórmula útil para a prova):
- A parábola
tem vértice em e abre para a direita. - A reta
tem coeficiente angular e intercepto em . - A região
é o conjunto de pontos entre essas curvas, com variando de a .
Uma forma prática e compacta de escrever
é:
Isso já é suficiente como “representar a região” de forma matemática (na prova pode-se também desenhar a parábola e a reta, marcando
e
como limites).
Passo 5
Preparar a integral para o volume ao rotacionar
em torno da reta
.
Escolha do método: a reta
é vertical. Para eixos verticais é natural usar o método dos discos/aros (washers) integrando em fatias horizontais (isto é, integrar em
). Em cada nível fixo
a região tem um segmento em
de
até
. Ao girar esse segmento em torno de
obtemos um anel (washer) cuja área é
, em que:
-
é o raio externo (distância do eixo até o ponto mais distante do eixo, que é a fronteira esquerda, ); -
é o raio interno (distância do eixo até a fronteira direita, ).
Calcular os raios:
Portanto o elemento de volume é
.
Passo 6
Escrever a integral do volume (sem calcular), usando os limites em
encontrados:
Isto representa o volume do sólido obtido ao rotacionar
em torno de
. (Se quiser, dá para expandir as expressões dentro do integrando; mas como não é pedido o cálculo, essa forma é suficiente e clara.)
Passo 7
Preparar a integral para o volume ao rotacionar
em torno da reta
.
Escolha do método: a reta
é horizontal. Uma opção eficiente é usar o método das cascas cilíndricas (shell method) integrando em
. Ao fixar
e girar o segmento horizontal de comprimento
em torno de
, obtemos uma casca cilíndrica de raio
, espessura
e comprimento igual à altura da casca. O volume elementar pela fórmula das cascas é
Passo 8
Escrever a integral do volume (sem calcular), usando os limites em
:
Essa integral representa o volume do sólido obtido ao rotacionar
em torno de
.
Resposta
(a)
(b)
(c)