Seja R a região delimitada pelas curvas x=-y+3 e x=y^{2}-2 y+1.
a. Represente a região R.
b. Escreva uma integral que representa o volume do sólido de revolução obtido ao rotacionarmos a região R em torno da reta x=7.
c. Escreva uma integral que representa o volume do sólido de revolução obtido ao rotacionarmos a região R em torno da reta y=-3.
Obs.: não é necessário calcular as integrais nos itens (b) e (c).

Passo 1

O enunciado dá duas curvas em coordenadas cartesianas e pede três coisas:
  • Representar a região R limitada pelas curvas x=-y+3 e x=y^{2}-2y+1.
  • Escrever uma integral que represente o volume do sólido obtido ao girar R em torno da reta vertical x=7.
  • Escrever uma integral que represente o volume do sólido obtido ao girar R em torno da reta horizontal y=-3.
Informações relevantes fornecidas:
  • A primeira curva é a reta x=-y+3.
  • A segunda curva é a parábola x=y^{2}-2y+1 (observe que x=(y-1)^{2}).
  • A região R é o conjunto de pontos (x,y) que ficam entre essas duas curvas (limitada por elas).

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção (essas serão os limites em y para integrar facilmente). Igualamos as duas expressões de x:
-y+3 = y^{2}-2y+1.
Colocando todos os termos no mesmo lado:
0 = y^{2}-2y+1 + y -3 = y^{2}-y-2.
Resolver a quadrática:
y^{2}-y-2=0 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\frac{1\pm 3}{2}.
Logo os pontos de interseção ocorrem em
y=-1 \quad\text{e}\quad y=2.

Passo 3

Determinar, para y entre -1 e 2, qual curva fica à esquerda e qual à direita (isto define as fronteiras horizontais do segmento em cada valor de y). Calcular a diferença
(-y+3) - (y^{2}-2y+1) = -y^{2}+y+2 = -(y-2)(y+1).
Para y\in[-1,2] esse produto satisfeito faz com que a expressão seja \ge 0. Portanto
y^{2}-2y+1 \le x \le -y+3\quad\text{para}\quad y\in[-1,2].
Isto significa: a parábola x=(y-1)^{2} é a fronteira esquerda e a reta x=-y+3 é a fronteira direita, para y entre -1 e 2.

Passo 4

Representação da região R (descrição geométrica e fórmula útil para a prova):
  • A parábola x=(y-1)^{2} tem vértice em (0,1) e abre para a direita.
  • A reta x=-y+3 tem coeficiente angular -1 e intercepto em x=3.
  • A região R é o conjunto de pontos entre essas curvas, com y variando de -1 a 2.
Uma forma prática e compacta de escrever R é:
R=\{(x,y)\mid -1\le y\le 2,\; y^{2}-2y+1 \le x \le -y+3\}.
Isso já é suficiente como “representar a região” de forma matemática (na prova pode-se também desenhar a parábola e a reta, marcando y=-1 e y=2 como limites).

Passo 5

Preparar a integral para o volume ao rotacionar R em torno da reta x=7.
Escolha do método: a reta x=7 é vertical. Para eixos verticais é natural usar o método dos discos/aros (washers) integrando em fatias horizontais (isto é, integrar em y). Em cada nível fixo y a região tem um segmento em x de x_{\text{esq}}=y^{2}-2y+1 até x_{\text{dir}}=-y+3. Ao girar esse segmento em torno de x=7 obtemos um anel (washer) cuja área é \pi\big(R(y)^2-r(y)^2\big), em que:
  • R(y) é o raio externo (distância do eixo x=7 até o ponto mais distante do eixo, que é a fronteira esquerda, x_{\text{esq}});
  • r(y) é o raio interno (distância do eixo até a fronteira direita, x_{\text{dir}}).
Calcular os raios:
R(y)=|7-x_{\text{esq}}|=7-(y^{2}-2y+1)=6 - y^{2}+2y,
r(y)=|7-x_{\text{dir}}|=7-(-y+3)=4+y.
Portanto o elemento de volume é \pi\big((6 - y^{2}+2y)^{2} - (4+y)^{2}\big)\,dy.

Passo 6

Escrever a integral do volume (sem calcular), usando os limites em y encontrados:
V_{x=7}=\int_{y=-1}^{2} \pi\Big((6 - y^{2}+2y)^{2} - (4+y)^{2}\Big)\,dy.
Isto representa o volume do sólido obtido ao rotacionar R em torno de x=7. (Se quiser, dá para expandir as expressões dentro do integrando; mas como não é pedido o cálculo, essa forma é suficiente e clara.)

Passo 7

Preparar a integral para o volume ao rotacionar R em torno da reta y=-3.
Escolha do método: a reta y=-3 é horizontal. Uma opção eficiente é usar o método das cascas cilíndricas (shell method) integrando em y. Ao fixar y e girar o segmento horizontal de comprimento
\text{altura da casca} = x_{\text{dir}}-x_{\text{esq}} = (-y+3) - (y^{2}-2y+1) = -y^{2}+y+2,
em torno de y=-3, obtemos uma casca cilíndrica de raio \rho(y)=|y-(-3)|=y+3, espessura dy e comprimento igual à altura da casca. O volume elementar pela fórmula das cascas é
dV = 2\pi\cdot(\text{raio})\cdot(\text{altura})\cdot dy = 2\pi (y+3)\big(-y^{2}+y+2\big)\,dy.

Passo 8

Escrever a integral do volume (sem calcular), usando os limites em y:
V_{y=-3}=\int_{y=-1}^{2} 2\pi (y+3)\big(-y^{2}+y+2\big)\,dy.
Essa integral representa o volume do sólido obtido ao rotacionar R em torno de y=-3.

Resposta

(a) R=\{(x,y)\mid -1\le y\le 2,\; y^{2}-2y+1 \le x \le -y+3\}.
(b) V_{x=7}=\int_{y=-1}^{2} \pi\Big((6 - y^{2}+2y)^{2} - (4+y)^{2}\Big)\,dy.
(c) V_{y=-3}=\int_{y=-1}^{2} 2\pi (y+3)\big(-y^{2}+y+2\big)\,dy.

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