Classifique a integral imprópria
\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{x}|x-2|^{1 / 3}} d x
como divergente ou convergente. Justifique de forma adequada.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a integral imprópria
\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{x}\,|x-2|^{1/3}}\,dx
como convergente ou divergente e justificar. Informações relevantes do enunciado:
  • A função integranda é f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}\,|x-2|^{1/3}}.
  • O intervalo de integração é [0,3].
  • Potenciais pontos de descontinuidade (singularidades) dentro do intervalo: x=0 (porque aparece \sqrt{x} no denominador) e x=2 (porque aparece |x-2|^{1/3} no denominador).
  • Não há singularidade em x=3 (o integrando é finito lá).
Logo, para decidir sobre convergência é preciso analisar o comportamento da integral perto de x=0 e perto de x=2. A integral é imprópria por causa dessas duas singularidades; se as duas contribuições locais convergirem, então a integral total converge.

Passo 2

Lembrete útil (teste-padrão de comparação para integrais impróprias):
  • O chamado teste do p-integral diz que, para p\in\mathbb{R},
\int_{0}^{a} x^{-p}\,dx
converge se, e só se, p<1. Explicando por que: para p\neq1,
\int_{0}^{a} x^{-p}\,dx=\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{0}^{a},
e o limite em 0 é finito exatamente quando 1-p>0, ou seja p<1. (No caso p=1 a integral diverge logaritmicamente.)
  • A mesma ideia vale para uma singularidade interior: \int_{c-\delta}^{c+\delta} |x-c|^{-p}\,dx converge se, e só se, p<1, porque ela se reduz a duas integrais do tipo \int_{0}^{\delta} t^{-p}\,dt.
Esse teste do tipo x^{-p} será usado por comparação com a nossa integranda perto de cada singularidade.

Passo 3

Análise da singularidade em x=0.
Para x perto de 0 (por exemplo x\in(0,1)) tem-se
|x-2|=2-x\ge 1,
logo
|x-2|^{-1/3}\le 1.
Assim, para x\in(0,1),
\frac{1}{\sqrt{x}\,|x-2|^{1/3}}\le \frac{1}{\sqrt{x}}.
Sabemos que
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\left[2x^{1/2}\right]_{0}^{1}=2<\infty,
ou seja, \int_{0}^{1} x^{-1/2}\,dx converge (aqui p=\tfrac{1}{2}<1). Pelo teste de comparação (função positiva majorada por uma função integrável), a contribuição da integral original no intervalo (0,1) é finita; portanto a singularidade em x=0 é integrável (não causa divergência).

Passo 4

Análise da singularidade em x=2.
Escolhendo uma vizinhança de 2, por exemplo o intervalo (1,3), observa-se que para x\in(1,3) temos \sqrt{x}\ge 1, logo 1/\sqrt{x}\le 1. Assim, para x\in(1,3),
\frac{1}{\sqrt{x}\,|x-2|^{1/3}}\le \frac{1}{|x-2|^{1/3}}.
Portanto basta verificar se \int_{1}^{3} |x-2|^{-1/3}\,dx é finita. Fazendo a divisão em torno de 2,
\int_{1}^{3} \frac{1}{|x-2|^{1/3}}\,dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{(2-x)^{1/3}}\,dx + \int_{2}^{3} \frac{1}{(x-2)^{1/3}}\,dx.
Em ambas as integrais, após a mudança t=2-x ou t=x-2, cada uma é equivalente a
\int_{0}^{1} t^{-1/3}\,dt.
Calculando,
\int_{0}^{1} t^{-1/3}\,dt=\left[\frac{t^{2/3}}{2/3}\right]_{0}^{1}=\frac{3}{2}<\infty,
porque aqui o expoente p=\tfrac{1}{3}<1. Logo cada uma das integrais peça-contribuição é finita, e assim \int_{1}^{3} |x-2|^{-1/3}\,dx<\infty. Pelo teste de comparação, a integral original é integrável perto de x=2 (a singularidade em 2 também é integrável).

Passo 5

Conclusão combinando as duas análises: a integral é imprópria por causa de singularidades em x=0 e x=2, mas ambas são do tipo integrável (os expoentes nas potências são menores que 1). Usando comparações apropriadas mostramos que as contribuições locais perto de 0 e de 2 são finitas. Portanto a integral impropria em [0,3] converge.

Resposta

Convergente

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