Classifique a integral imprópria
como divergente ou convergente. Justifique de forma adequada.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a integral imprópria
como convergente ou divergente e justificar. Informações relevantes do enunciado:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é
. - Potenciais pontos de descontinuidade (singularidades) dentro do intervalo:
(porque aparece no denominador) e (porque aparece no denominador). - Não há singularidade em
(o integrando é finito lá).
Logo, para decidir sobre convergência é preciso analisar o comportamento da integral perto de
e perto de
. A integral é imprópria por causa dessas duas singularidades; se as duas contribuições locais convergirem, então a integral total converge.
Passo 2
Lembrete útil (teste-padrão de comparação para integrais impróprias):
- O chamado teste do
-integral diz que, para ,
converge se, e só se,
. Explicando por que: para
,
e o limite em
é finito exatamente quando
, ou seja
. (No caso
a integral diverge logaritmicamente.)
- A mesma ideia vale para uma singularidade interior:
converge se, e só se, , porque ela se reduz a duas integrais do tipo .
Esse teste do tipo
será usado por comparação com a nossa integranda perto de cada singularidade.
Passo 3
Análise da singularidade em
.
Para
perto de
(por exemplo
) tem-se
logo
Assim, para
,
Sabemos que
ou seja,
converge (aqui
). Pelo teste de comparação (função positiva majorada por uma função integrável), a contribuição da integral original no intervalo
é finita; portanto a singularidade em
é integrável (não causa divergência).
Passo 4
Análise da singularidade em
.
Escolhendo uma vizinhança de
, por exemplo o intervalo
, observa-se que para
temos
, logo
. Assim, para
,
Portanto basta verificar se
é finita. Fazendo a divisão em torno de
,
Em ambas as integrais, após a mudança
ou
, cada uma é equivalente a
Calculando,
porque aqui o expoente
. Logo cada uma das integrais peça-contribuição é finita, e assim
. Pelo teste de comparação, a integral original é integrável perto de
(a singularidade em
também é integrável).
Passo 5
Conclusão combinando as duas análises: a integral é imprópria por causa de singularidades em
e
, mas ambas são do tipo integrável (os expoentes nas potências são menores que
). Usando comparações apropriadas mostramos que as contribuições locais perto de
e de
são finitas. Portanto a integral impropria em
converge.
Resposta
Convergente