Q 5 Prove, usando a definição de integral, que se F(x) é uma primitiva de f(x), para cada constante K in R e cada x in Dom(f), F(x)+K também é uma primitiva de f(x).

Passo 1

Vamos lembrar a definição de primitiva usando integrais. Suponha que f seja integrável em um intervalo I e seja fixado um ponto ain I. Dizemos que uma função Fcolon ItoR é uma primitiva de f em I se, para todo xin I, valer
F(x)-F(a)=integrala^xf(t),dt

Passo 2

Agora, tome uma constante arbitrária KinR e defina
G(x)=F(x)+K
Queremos mostrar que G também satisfaz a condição acima, isto é, que G é primitiva de f.

Passo 3

Escolhendo o mesmo ponto a do passo anterior, calculemos a diferença
G(x)-G(a) =l(F(x)+Kr)-l(F(a)+Kr) =F(x)-F(a)

Passo 4

Como F é primitiva de f, sabemos que
F(x)-F(a)=integrala^xf(t),dt
Logo
G(x)-G(a)=integrala^xf(t),dt,
o que mostra que G satisfaz a mesma definição de primitiva.

Resposta

Para toda constante K, a função F(x)+K também é primitiva de f(x).

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