Seja R a região finita entre o gráfico de y=x^{2}-2 x^{3} e o eixo x.
Encontre o volume do sólido obtido ao girar R em torno da reta x=-1.

Passo 1

O enunciado nos dá a função y=x^{2}-2x^{3} e diz que R é a região finita entre esse gráfico e o eixo x. Pede-se o volume do sólido obtido ao girar R em torno da reta x=-1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva: y=x^{2}-2x^{3}.
  • A região R é limitada pela curva e pelo eixo x (ou seja, entre pontos onde y=0).
  • O eixo de rotação é a reta vertical x=-1.
  • O pedido: calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção entre a curva e o eixo x (esses serão os limites em x da região R). Para isso, resolver y=0:
x^{2}-2x^{3}=0.
Fatorando x^{2}:
x^{2}(1-2x)=0.
As soluções são:
x=0\quad\text{ou}\quad 1-2x=0\Rightarrow x=\tfrac{1}{2}.
Portanto a região R está entre x=0 e x=\tfrac{1}{2}, com y\ge0 nesse intervalo.

Passo 3

Escolher o método de cálculo do volume. Como o eixo de rotação é a reta vertical x=-1 e a região é dada por y=f(x) entre duas abscissas, o método das cascas cilíndricas (método dos cilindros concêntricos) é o mais direto: evita resolver x em função de y.
Explicando o método das cascas (de forma bem direta):
  • Tomamos um retângulo vertical em x de largura dx, altura h(x)=f(x)-0.
  • Ao girar esse retângulo em torno de x=-1 forma-se uma casca cilíndrica de raio r(x) igual à distância horizontal até a reta de rotação e de altura h(x).
  • O volume dessa casca elementar é aproximadamente a área lateral do cilindro vezes a espessura:
dV=2\pi\cdot r(x)\cdot h(x)\,dx.
Aqui r(x)=\text{distância de }x\text{ até }-1 = x+1âé e h(x)=x^{2}-2x^{3}.

Passo 4

Montar a integral do volume usando o método das cascas:
V=2\pi\int_{x=0}^{x=\tfrac{1}{2}} \bigl(x+1\bigr)\bigl(x^{2}-2x^{3}\bigr)\,dx.
Agora vou simplificar o integrando antes de integrar. Primeiro multiplicar termo a termo:
(x+1)(x^{2}-2x^{3})=x\cdot x^{2}-2x\cdot x^{3}+1\cdot x^{2}-2\cdot x^{3}.
Calculando cada termo:
x\cdot x^{2}=x^{3},\qquad -2x\cdot x^{3}=-2x^{4},\qquad 1\cdot x^{2}=x^{2},\qquad -2\cdot x^{3}=-2x^{3}.
Agrupando:
x^{3}-2x^{4}+x^{2}-2x^{3}=x^{2}+(x^{3}-2x^{3})-2x^{4}=x^{2}-x^{3}-2x^{4}.
Portanto a integral fica
V=2\pi\int_{0}^{\tfrac{1}{2}}\bigl(x^{2}-x^{3}-2x^{4}\bigr)\,dx.

Passo 5

Integrar termo a termo. As regras básicas usadas:
  • \displaystyle\int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1.
    Aplicando aos termos:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\qquad \int (-x^{3})\,dx=-\frac{x^{4}}{4},\qquad \int (-2x^{4})\,dx=-2\cdot\frac{x^{5}}{5}=-\frac{2x^{5}}{5}.
Assim a primitiva do integrando é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}-\frac{2x^{5}}{5}.
Logo
V=2\pi\left[F\!\left(\tfrac{1}{2}\right)-F(0)\right]=2\pi\;F\!\left(\tfrac{1}{2}\right).

Passo 6

Calcular F\!\left(\tfrac{1}{2}\right) cuidadosamente:
F\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\frac{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}}{3}-\frac{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}}{4}-\frac{2\left(\tfrac{1}{2}\right)^{5}}{5}.
Calcule cada parcela:
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}=\tfrac{1}{8}\Rightarrow \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{3}=\tfrac{1}{24},
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}=\tfrac{1}{16}\Rightarrow \frac{1}{16}\cdot\frac{1}{4}=\tfrac{1}{64},
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{5}=\tfrac{1}{32}\Rightarrow \frac{2}{5}\cdot\tfrac{1}{32}=\tfrac{2}{160}=\tfrac{1}{80}.
Portanto
F\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{1}{24}-\tfrac{1}{64}-\tfrac{1}{80}.
Agora somar as frações. O mínimo múltiplo comum de 24,64,80 é 960. Convertendo:
\tfrac{1}{24}=\tfrac{40}{960},\qquad \tfrac{1}{64}=\tfrac{15}{960},\qquad \tfrac{1}{80}=\tfrac{12}{960}.
Subtraindo:
\tfrac{40}{960}-\tfrac{15}{960}-\tfrac{12}{960}=\tfrac{13}{960}.
Logo F\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\dfrac{13}{960}.

Passo 7

Multiplicar pelo fator 2\pi para obter o volume:
V=2\pi\cdot \frac{13}{960}=\frac{26\pi}{960}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 2:
V=\frac{13\pi}{480}.
Esse é o volume do sólido gerado.

Resposta

\dfrac{13\pi}{480}

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