Seja
a região finita entre o gráfico de
e o eixo
.
Encontre o volume do sólido obtido ao girar
em torno da reta
.
Encontre o volume do sólido obtido ao girar
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e diz que
é a região finita entre esse gráfico e o eixo
. Pede-se o volume do sólido obtido ao girar
em torno da reta
.
Informações relevantes fornecidas:
- A curva:
. - A região
é limitada pela curva e pelo eixo (ou seja, entre pontos onde ). - O eixo de rotação é a reta vertical
. - O pedido: calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção entre a curva e o eixo
(esses serão os limites em
da região
). Para isso, resolver
:
Fatorando
:
As soluções são:
Portanto a região
está entre
e
, com
nesse intervalo.
Passo 3
Escolher o método de cálculo do volume. Como o eixo de rotação é a reta vertical
e a região é dada por
entre duas abscissas, o método das cascas cilíndricas (método dos cilindros concêntricos) é o mais direto: evita resolver
em função de
.
Explicando o método das cascas (de forma bem direta):
- Tomamos um retângulo vertical em
de largura , altura . - Ao girar esse retângulo em torno de
forma-se uma casca cilíndrica de raio igual à distância horizontal até a reta de rotação e de altura . - O volume dessa casca elementar é aproximadamente a área lateral do cilindro vezes a espessura:
Aqui
e
.
Passo 4
Montar a integral do volume usando o método das cascas:
Agora vou simplificar o integrando antes de integrar. Primeiro multiplicar termo a termo:
Calculando cada termo:
Agrupando:
Portanto a integral fica
Passo 5
Integrar termo a termo. As regras básicas usadas:
-
para .
Aplicando aos termos:
Assim a primitiva do integrando é
Logo
Passo 6
Calcular
cuidadosamente:
Calcule cada parcela:
Portanto
Agora somar as frações. O mínimo múltiplo comum de
é
. Convertendo:
Subtraindo:
Logo
.
Passo 7
Multiplicar pelo fator
para obter o volume:
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
Esse é o volume do sólido gerado.