Questão 23. Prove que o produto cartesiano A \times B é vazio ( A \times B=\emptyset ) se, e somente se, A=\emptyset ou B=\emptyset.

Passo 1

O enunciado pede para provar a bicondicional: mostrar que \,A\times B=\emptyset\;\iff\;A=\emptyset\\ \text{ou}\\ B=\emptyset.
Informações/objetivo claras:
  • Existem dois conjuntos arbitrários A e B.
  • Precisa-se provar a afirmação “se, e somente se” — ou seja, provar as duas implicações:
    1. Se A=\emptyset ou B=\emptyset, então A\times B=\emptyset.
    2. Se A\times B=\emptyset, então A=\emptyset ou B=\emptyset.

Passo 2

Definições e ideias que vamos usar (explicadas devagar, tipo conversa de amigo):
  • Definição do produto cartesiano: \,A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\\ \text{e}\\ b\in B\}.
    Aqui (a,b) é um par ordenado cujo primeiro componente é a e o segundo é b. O par (a,b) pertence a A\times B exatamente quando simultaneamente a\in A e b\in B.
  • Definição do conjunto vazio: \emptyset é o conjunto que não tem elementos. Dizer que um conjunto X é vazio equivale a afirmar que não existe x tal que x\in X. Em lógica: X=\emptyset iff \neg\exists x\,(x\in X).
  • Estratégia lógica: para provar uma bicondicional, faremos as duas direções mencionadas no Passo 1. A segunda direção (se A\times B=\emptyset então A=\emptyset ou B=\emptyset) é mais simples de mostrar usando o contraponente: provar que se A\neq\emptyset e B\neq\emptyset então A\times B\neq\emptyset. Isso é natural porque, se ambos têm elementos, dá para construir um par (a,b).

Passo 3

Provar: se A=\emptyset então A\times B=\emptyset.
Raciocínio passo a passo:
  • Suponha A=\emptyset. Por definição, não existe a tal que a\in A.
  • Um elemento de A\times B teria a forma (a,b) com a\in A e b\in B.
  • Mas como não existe a\in A, não há nenhum par (a,b) que satisfaça a condição necessária para pertencer a A\times B.
  • Logo não existe elemento em A\times B, ou seja, A\times B=\emptyset.
Comentário didático: aqui usamos diretamente a definição do produto cartesiano e da ausência de elementos em A. Se não há a para compor o par, o produto não pode ter nenhum par — simples assim.

Passo 4

Provar: se B=\emptyset então A\times B=\emptyset.
Raciocínio passo a passo:
  • Suponha B=\emptyset. Então não existe b tal que b\in B.
  • Para que um par (a,b) pertença a A\times B precisamos de a\in A e b\in B.
  • Como não existe b\in B, não existe nenhum par (a,b) que satisfaça as duas condições ao mesmo tempo.
  • Portanto não existe elemento em A\times B, ou seja, A\times B=\emptyset.
Comentário didático: esta implicação é análoga à do Passo 3, trocando os papéis de A e B.

Passo 5

Provar a converso: se A\times B=\emptyset então A=\emptyset ou B=\emptyset. Vou fazer pelo contraponente (que é mais direto em provas desse tipo):
  • O contraponente é: se A\neq\emptyset e B\neq\emptyset então A\times B\neq\emptyset.
  • Suponha A\neq\emptyset e B\neq\emptyset. Isso significa que existem elementos a e b tais que a\in A e b\in B.
  • Considere o par ordenado (a,b). Pela definição de produto cartesiano, como a\in A e b\in B, tem-se (a,b)\in A\times B.
  • Assim existe ao menos um elemento em A\times B, logo A\times B\neq\emptyset.
  • Portanto mostramos que a hipótese “ambos não vazios” implica que o produto não é vazio. Tomando a contraposição lógica, concluímos: se A\times B=\emptyset então não é verdade que A\neq\emptyset e B\neq\emptyset; ou seja, A=\emptyset ou B=\emptyset.
Comentário didático: a construção explícita do par (a,b) é a forma mais direta de mostrar existência em produtos cartesianos. Não é preciso nenhum axioma de escolha aqui — só tomar um elemento de cada conjunto quando eles existem.

Passo 6

Resumo lógico final (juntando tudo):
  • Mostramos que A=\emptyset implica A\times B=\emptyset (Passo 3).
  • Mostramos que B=\emptyset implica A\times B=\emptyset (Passo 4).
  • Mostramos que se A\times B=\emptyset então A=\emptyset ou B=\emptyset (Passo 5).
  • Essas três partes juntos dão exatamente a equivalência pedida: \,A\times B=\emptyset se, e somente se, A=\emptyset ou B=\emptyset.

Resposta

\,A\times B=\emptyset\iff A=\emptyset\\ \text{ou}\\ B=\emptyset

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