Questão 23. Prove que o produto cartesiano
é vazio (
) se, e somente se,
ou
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a bicondicional: mostrar que
Informações/objetivo claras:
Informações/objetivo claras:
- Existem dois conjuntos arbitrários
e . - Precisa-se provar a afirmação “se, e somente se” — ou seja, provar as duas implicações:
- Se
ou , então . - Se
, então ou .
- Se
Passo 2
Definições e ideias que vamos usar (explicadas devagar, tipo conversa de amigo):
- Definição do produto cartesiano:
Aquié um par ordenado cujo primeiro componente é e o segundo é . O par pertence a exatamente quando simultaneamente e . - Definição do conjunto vazio:
é o conjunto que não tem elementos. Dizer que um conjunto é vazio equivale a afirmar que não existe tal que . Em lógica: iff . - Estratégia lógica: para provar uma bicondicional, faremos as duas direções mencionadas no Passo 1. A segunda direção (se
então ou ) é mais simples de mostrar usando o contraponente: provar que se e então . Isso é natural porque, se ambos têm elementos, dá para construir um par .
Passo 3
Provar: se
então
.
Raciocínio passo a passo:
Raciocínio passo a passo:
- Suponha
. Por definição, não existe tal que . - Um elemento de
teria a forma com e . - Mas como não existe
, não há nenhum par que satisfaça a condição necessária para pertencer a . - Logo não existe elemento em
, ou seja, .
Comentário didático: aqui usamos diretamente a definição do produto cartesiano e da ausência de elementos em
. Se não há
para compor o par, o produto não pode ter nenhum par — simples assim.
Passo 4
Provar: se
então
.
Raciocínio passo a passo:
Raciocínio passo a passo:
- Suponha
. Então não existe tal que . - Para que um par
pertença a precisamos de e . - Como não existe
, não existe nenhum par que satisfaça as duas condições ao mesmo tempo. - Portanto não existe elemento em
, ou seja, .
Comentário didático: esta implicação é análoga à do Passo 3, trocando os papéis de
e
.
Passo 5
Provar a converso: se
então
ou
. Vou fazer pelo contraponente (que é mais direto em provas desse tipo):
- O contraponente é: se
e então . - Suponha
e . Isso significa que existem elementos e tais que e . - Considere o par ordenado
. Pela definição de produto cartesiano, como e , tem-se . - Assim existe ao menos um elemento em
, logo . - Portanto mostramos que a hipótese “ambos não vazios” implica que o produto não é vazio. Tomando a contraposição lógica, concluímos: se
então não é verdade que e ; ou seja, ou .
Comentário didático: a construção explícita do par
é a forma mais direta de mostrar existência em produtos cartesianos. Não é preciso nenhum axioma de escolha aqui — só tomar um elemento de cada conjunto quando eles existem.
Passo 6
Resumo lógico final (juntando tudo):
- Mostramos que
implica (Passo 3). - Mostramos que
implica (Passo 4). - Mostramos que se
então ou (Passo 5). - Essas três partes juntos dão exatamente a equivalência pedida:
se, e somente se, ou .