Questão 21. Prove a propriedade fundamental dos pares ordenados utilizando unicamente a definição de Kuratowski: para quaisquer conjuntos
, tem-se que
se, e somente se,
e
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando apenas a definição de Kuratowski, que para quaisquer conjuntos
vale:
A informação que vamos usar (definição de Kuratowski) é:
Não há outras hipóteses além dessa definição e da noção usual de igualdade de conjuntos (dois conjuntos são iguais quando têm exatamente os mesmos elementos).
Passo 2
Lembrete rápido sobre conceitos básicos que usarei (explicação didática):
- Igualdade de conjuntos: dizer que dois conjuntos
e são iguais significa que todo elemento de pertence a e todo elemento de pertence a . Em símbolos: se, e somente se, . - Singleton:
é o conjunto que tem exatamente um elemento, que é . - Dois elementos iguais em conjuntos:
implica que (pois tem apenas um elemento, então também deve ser igual a esse único elemento).
Vou usar essas ideias passo a passo, sem assumir nada além do óbvio.
Passo 3
Prova da implicação
(primeira parte do “se, e somente se”).
Partimos de
. Pela definição de Kuratowski,
e esses dois conjuntos são iguais. Como
é elemento de
, pela igualdade de conjuntos temos
. Portanto
é igual a um dos elementos de
, ou seja:
- Se
, então imediatamente (dois singletons iguais têm o mesmo elemento). - Se
, então o conjunto à direita tem os elementos e , mas o conjunto à esquerda tem exatamente um elemento; isso só é possível se também tiver exatamente um elemento, i.e. . Nesse subcaso , e então e de novo .
Em ambos os subcasos concluímos
. Assim sempre que
temos
.
Passo 4
Prova da implicação
(segunda parte do “se, e somente se”).
Partimos novamente de
. Já sabemos pelo Passo 3 que
. Usando isso, reescrevemos as duas representações de Kuratowski substituindo
por
:
e esses dois conjuntos são iguais. Como
é elemento de
, pela igualdade temos
. Logo
é igual a um dos elementos de
, ou seja:
- Se
então, por igualdade de conjuntos com dois elementos, os elementos coincidem: isto implica que (mais formalmente: os elementos de são exatamente os mesmos de , e como já coincide, sobra ). - Se
, então tem um único elemento, portanto . Mas então , o que força . Daí , ou seja .
Em ambos os subcasos obtemos
. Assim sempre que
temos
.
Passo 5
Portanto já provamos a direção direta: se
então
e
.
Passo 6
Prova da direção recíproca
.
Suponha
e
. Então substituindo na definição de Kuratowski:
Ou seja, os dois conjuntos definidos por Kuratowski coincidem term a termo, logo são exatamente iguais. Essa é uma verificação direta: igualdade de representantes dá igualdade dos pares.
Passo 7
Conclusão final: juntando as duas direções, obtemos a equivalência desejada:
se, e somente se,
e
.