Questão 21. Prove a propriedade fundamental dos pares ordenados utilizando unicamente a definição de Kuratowski: para quaisquer conjuntos x, y, a, b, tem-se que (x, y)=(a, b) se, e somente se, x=a e y=b.

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando apenas a definição de Kuratowski, que para quaisquer conjuntos x,y,a,b vale:
(x,y)=(a,b)\quad\text{se, e somente se,}\quad x=a\\ \text{e}\\ y=b.
A informação que vamos usar (definição de Kuratowski) é:
(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}.
Não há outras hipóteses além dessa definição e da noção usual de igualdade de conjuntos (dois conjuntos são iguais quando têm exatamente os mesmos elementos).

Passo 2

Lembrete rápido sobre conceitos básicos que usarei (explicação didática):
  • Igualdade de conjuntos: dizer que dois conjuntos A e B são iguais significa que todo elemento de A pertence a B e todo elemento de B pertence a A. Em símbolos: A=B se, e somente se, \forall z\,(z\in A \Leftrightarrow z\in B).
  • Singleton: \{u\} é o conjunto que tem exatamente um elemento, que é u.
  • Dois elementos iguais em conjuntos: \{u,v\}=\{u\} implica que v=u (pois \{u\} tem apenas um elemento, então v também deve ser igual a esse único elemento).
    Vou usar essas ideias passo a passo, sem assumir nada além do óbvio.

Passo 3

Prova da implicação (x,y)=(a,b)\Rightarrow x=a (primeira parte do “se, e somente se”).
Partimos de (x,y)=(a,b). Pela definição de Kuratowski,
(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\} \qquad\text{e}\qquad (a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\},
e esses dois conjuntos são iguais. Como \{x\} é elemento de (x,y), pela igualdade de conjuntos temos \{x\}\in (a,b). Portanto \{x\} é igual a um dos elementos de (a,b), ou seja:
\{x\}=\{a\}\quad\text{ou}\quad \{x\}=\{a,b\}.
  • Se \{x\}=\{a\}, então imediatamente x=a (dois singletons iguais têm o mesmo elemento).
  • Se \{x\}=\{a,b\}, então o conjunto à direita tem os elementos a e b, mas o conjunto à esquerda tem exatamente um elemento; isso só é possível se \{a,b\} também tiver exatamente um elemento, i.e. a=b. Nesse subcaso \{a,b\}=\{a\}, e então \{x\}=\{a\} e de novo x=a.
Em ambos os subcasos concluímos x=a. Assim sempre que (x,y)=(a,b) temos x=a.

Passo 4

Prova da implicação (x,y)=(a,b)\Rightarrow y=b (segunda parte do “se, e somente se”).
Partimos novamente de (x,y)=(a,b). Já sabemos pelo Passo 3 que x=a. Usando isso, reescrevemos as duas representações de Kuratowski substituindo x por a:
(x,y)=\{\{a\},\{a,y\}\} \qquad\text{e}\qquad (a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\},
e esses dois conjuntos são iguais. Como \{a,y\} é elemento de (x,y), pela igualdade temos \{a,y\}\in (a,b). Logo \{a,y\} é igual a um dos elementos de (a,b), ou seja:
\{a,y\}=\{a\}\quad\text{ou}\quad \{a,y\}=\{a,b\}.
  • Se \{a,y\}=\{a,b\} então, por igualdade de conjuntos com dois elementos, os elementos coincidem: isto implica que y=b (mais formalmente: os elementos de \{a,y\} são exatamente os mesmos de \{a,b\}, e como a já coincide, sobra y=b).
  • Se \{a,y\}=\{a\}, então \{a,y\} tem um único elemento, portanto y=a. Mas então \{a,b\}=\{a,y\}=\{a\}, o que força b=a. Daí y=a=b, ou seja y=b.
Em ambos os subcasos obtemos y=b. Assim sempre que (x,y)=(a,b) temos y=b.

Passo 5

Portanto já provamos a direção direta: se (x,y)=(a,b) então x=a e y=b.

Passo 6

Prova da direção recíproca (x=a\\ \text{e}\\ y=b)\Rightarrow (x,y)=(a,b).
Suponha x=a e y=b. Então substituindo na definição de Kuratowski:
(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}=\{\{a\},\{a,b\}\}=(a,b).
Ou seja, os dois conjuntos definidos por Kuratowski coincidem term a termo, logo são exatamente iguais. Essa é uma verificação direta: igualdade de representantes dá igualdade dos pares.

Passo 7

Conclusão final: juntando as duas direções, obtemos a equivalência desejada: (x,y)=(a,b) se, e somente se, x=a e y=b.

Resposta

(x,y)=(a,b) se, e somente se, x=a e y=b.

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