Seja C uma curva lisa fechada simples no plano 2 x+2 y+z=2, orientada conforme mostrado aqui. Mostre que
\oint_{C} 2 y d x+3 z d y-x d z
depende somente da área da região delimitada por C e não da posição ou formato de C.
Passo 1
O enunciado dá a curva fechada simples C contida no plano
2x+2y+z=2
e pede para mostrar que
\oint_{C}2y\,dx+3z\,dy -x\,dz
depende apenas da área da região D delimitada por C. Para isso vamos usar o Teorema de Stokes, pois ele relaciona a integral de linha fechada ao fluxo do rotacional de um campo vetorial através de uma superfície S qualquer limitada por C.
Passo 2
Seja \mathbf{F}(x,y,z)=(P,Q,R)=(2y,\,3z,\,-x). O Teorema de Stokes afirma que, para uma superfície lisa S com fronteira C orientada conforme C,
O plano 2x+2y+z=2 tem normal não unitário \mathbf{N}=(2,2,1). Escolhendo o sentido de \hat{\mathbf{n}}=\mathbf{N}/\|\mathbf{N}\| compatível com a orientação de C, temos