1- Seja r(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t, \ln (\cos t)), 0 \leq t<\frac{\pi}{2}. Determine:
а) r^{\prime}(t);
b) o comprimento da curva de (1,0,0) a \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \ln \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right);
c) curvatura em \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \ln \left(\frac{1}{2}\right)\right).
(b) Calcular o comprimento da curva do ponto (1,0,0) até o ponto \Bigl(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2},\ln\!\bigl(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)\Bigr).
(c) Calcular a curvatura no ponto \Bigl(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ln\!\bigl(\dfrac{1}{2}\bigr)\Bigr).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A curva é dada em função do parâmetro t.
O ponto (1,0,0) corresponde a t=0 (porque \cos0=1,\;\sin0=0,\;\ln(\cos0)=0).
O ponto \Bigl(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2},\ln\!\bigl(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)\Bigr) corresponde a t=\dfrac{\pi}{4}.
O ponto \Bigl(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ln\!\bigl(\dfrac{1}{2}\bigr)\Bigr) corresponde a t=\dfrac{\pi}{3}.
Passo 2
Calcular r'(t).
Lembrete rápido (fórmulas que vou usar):
Derivada componente a componente: se r(t)=(x(t),y(t),z(t)) então r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)).
Regra da cadeia: \dfrac{d}{dt}\ln(u(t))=\dfrac{u'(t)}{u(t)}.
Aplicando isso às componentes:
\dfrac{d}{dt}\cos t = -\sin t.
\dfrac{d}{dt}\sin t = \cos t.
\dfrac{d}{dt}\ln(\cos t)=\dfrac{-\sin t}{\cos t}=-\tan t.
Portanto,
r'(t)=\bigl(-\sin t,\;\cos t,\;-\tan t\bigr).
Passo 3
Calcular o comprimento da curva entre t=0 e t=\dfrac{\pi}{4}.
Teoria e fórmula:
Comprimento de curva parametrizada por t em [a,b]:
L=\int_a^b \bigl\|r'(t)\bigr\|\,dt,
onde \bigl\|r'(t)\bigr\|=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}.
O ponto \Bigl(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ln(\tfrac{1}{2})\Bigr) corresponde a t=\dfrac{\pi}{3} (porque \cos(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac{1}{2}). Vamos avaliar tudo em t=\dfrac{\pi}{3}.
Passo 5
Calcular o produto vetorial r'(t)\times r''(t) e sua norma em t=\dfrac{\pi}{3}.
Também já sabemos \bigl\|r'(t)\bigr\|=\operatorname{sec} t. Em t=\dfrac{\pi}{3} temos \cos(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac{1}{2} então \operatorname{sec}(\tfrac{\pi}{3})=2 e