1- Seja r(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t, \ln (\cos t)), 0 \leq t<\frac{\pi}{2}. Determine:
а) r^{\prime}(t);
b) o comprimento da curva de (1,0,0) a \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \ln \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right);
c) curvatura em \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \ln \left(\frac{1}{2}\right)\right).

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
r(t)=\bigl(\cos t,\;\sin t,\;\ln(\cos t)\bigr),\qquad 0\le t<\frac{\pi}{2}.
As perguntas são:
  • (a) Determinar r'(t).
  • (b) Calcular o comprimento da curva do ponto (1,0,0) até o ponto \Bigl(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2},\ln\!\bigl(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)\Bigr).
  • (c) Calcular a curvatura no ponto \Bigl(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ln\!\bigl(\dfrac{1}{2}\bigr)\Bigr).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva é dada em função do parâmetro t.
  • O ponto (1,0,0) corresponde a t=0 (porque \cos0=1,\;\sin0=0,\;\ln(\cos0)=0).
  • O ponto \Bigl(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2},\ln\!\bigl(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)\Bigr) corresponde a t=\dfrac{\pi}{4}.
  • O ponto \Bigl(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ln\!\bigl(\dfrac{1}{2}\bigr)\Bigr) corresponde a t=\dfrac{\pi}{3}.

Passo 2

Calcular r'(t).
Lembrete rápido (fórmulas que vou usar):
  • Derivada componente a componente: se r(t)=(x(t),y(t),z(t)) então r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)).
  • Regra da cadeia: \dfrac{d}{dt}\ln(u(t))=\dfrac{u'(t)}{u(t)}.
Aplicando isso às componentes:
  • \dfrac{d}{dt}\cos t = -\sin t.
  • \dfrac{d}{dt}\sin t = \cos t.
  • \dfrac{d}{dt}\ln(\cos t)=\dfrac{-\sin t}{\cos t}=-\tan t.
Portanto,
r'(t)=\bigl(-\sin t,\;\cos t,\;-\tan t\bigr).

Passo 3

Calcular o comprimento da curva entre t=0 e t=\dfrac{\pi}{4}.
Teoria e fórmula:
  • Comprimento de curva parametrizada por t em [a,b]:
L=\int_a^b \bigl\|r'(t)\bigr\|\,dt,
onde \bigl\|r'(t)\bigr\|=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}.
Calcular \bigl\|r'(t)\bigr\| para a nossa curva:
\bigl\|r'(t)\bigr\|=\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2+(-\tan t)^2} =\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t+\tan^2 t}.
Usando \sin^2 t+\cos^2 t=1 e \tan^2 t=\operatorname{sec}^2 t-1, obtemos
\bigl\|r'(t)\bigr\|=\sqrt{1+(\operatorname{sec}^2 t-1)}=\sqrt{\operatorname{sec}^2 t}=|\operatorname{sec} t|.
No intervalo 0\le t<\dfrac{\pi}{2} temos \cos t>0, logo |\operatorname{sec} t|=\operatorname{sec} t. Assim
\bigl\|r'(t)\bigr\|=\operatorname{sec} t.
Então o comprimento entre t=0 e t=\dfrac{\pi}{4} é
L=\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec} t\,dt.
Fórmula conhecida: \displaystyle\int \operatorname{sec} t\,dt=\ln\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr|+C. Avaliando:
L=\left.\ln\bigl(\operatorname{sec} t+\tan t\bigr)\right|_{0}^{\pi/4} =\ln\bigl(\operatorname{sec}(\tfrac{\pi}{4})+\tan(\tfrac{\pi}{4})\bigr)-\ln\bigl(\operatorname{sec} 0+\tan 0\bigr).
Como \operatorname{sec}(\tfrac{\pi}{4})=\sqrt{2}, \tan(\tfrac{\pi}{4})=1, \operatorname{sec} 0=1, \tan 0=0, segue
L=\ln\bigl(\sqrt{2}+1\bigr)-\ln 1=\ln\bigl(\sqrt{2}+1\bigr).

Passo 4

Preparar para calcular a curvatura no ponto pedido.
Teoria (fórmula da curvatura para curva no espaço, parametrizada por t):
\kappa(t)=\frac{\bigl\|r'(t)\times r''(t)\bigr\|}{\bigl\|r'(t)\bigr\|^3}.
Então preciso de r'(t) (já tenho) e de r''(t).
Calcular r''(t) derivando r'(t)=(-\sin t,\cos t,-\tan t) componente a componente:
  • \dfrac{d}{dt}(-\sin t)=-\cos t.
  • \dfrac{d}{dt}(\cos t)=-\sin t.
  • \dfrac{d}{dt}(-\tan t)=-\operatorname{sec}^2 t.
Assim
r''(t)=\bigl(-\cos t,\;- \sin t,\; -\operatorname{sec}^2 t\bigr).
O ponto \Bigl(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ln(\tfrac{1}{2})\Bigr) corresponde a t=\dfrac{\pi}{3} (porque \cos(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac{1}{2}). Vamos avaliar tudo em t=\dfrac{\pi}{3}.

Passo 5

Calcular o produto vetorial r'(t)\times r''(t) e sua norma em t=\dfrac{\pi}{3}.
Primeiro escrevo r'(t) e r''(t):
r'(t)=\bigl(-\sin t,\;\cos t,\; -\tan t\bigr),\qquad r''(t)=\bigl(-\cos t,\; -\sin t,\; -\operatorname{sec}^2 t\bigr).
O produto vetorial é (usando a fórmula componente a componente)
r'(t)\times r''(t)=\Bigl(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1\Bigr)
com a=r' e b=r''. Calculando simbolicamente:
r'(t)\times r''(t)=\left( -\frac{1+\sin^2 t}{\cos t},\; -\frac{\sin^3 t}{\cos^2 t},\; 1 \right).
Agora avalio em t=\dfrac{\pi}{3}, onde \sin(\tfrac{\pi}{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \cos(\tfrac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2}.
Calcular componentes numéricas:
  • Primeira componente:
-\frac{1+\sin^2(\tfrac{\pi}{3})}{\cos(\tfrac{\pi}{3})} =-\frac{1+\tfrac{3}{4}}{\tfrac{1}{2}}=-\frac{7/4}{1/2}=-\frac{7}{2}.
  • Segunda componente:
-\frac{\sin^3(\tfrac{\pi}{3})}{\cos^2(\tfrac{\pi}{3})} =-\frac{\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)^3}{\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^2} =-\frac{\tfrac{3\sqrt{3}}{8}}{\tfrac{1}{4}}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}.
  • Terceira componente é 1.
Logo
r'\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)\times r''\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right) =\left(-\tfrac{7}{2},\; -\tfrac{3\sqrt{3}}{2},\;1\right).
Agora a norma desse vetor:
\bigl\|r'\times r''\bigr\|^2 =\left(-\tfrac{7}{2}\right)^2+\left(-\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2+1^2 =\tfrac{49}{4}+\tfrac{27}{4}+1=\tfrac{76}{4}+1=19+1=20.
Logo
\bigl\|r'\times r''\bigr\|=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.
Também já sabemos \bigl\|r'(t)\bigr\|=\operatorname{sec} t. Em t=\dfrac{\pi}{3} temos \cos(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac{1}{2} então \operatorname{sec}(\tfrac{\pi}{3})=2 e
\bigl\|r'(\tfrac{\pi}{3})\bigr\|^3=2^3=8.
Finalmente a curvatura:
\kappa\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\frac{2\sqrt{5}}{8}=\frac{\sqrt{5}}{4}.

Resposta

(a) r'(t)=\bigl(-\sin t,\;\cos t,\;-\tan t\bigr)
(b) L=\displaystyle\ln\bigl(\sqrt{2}+1\bigr)
(c) \kappa\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{5}}{4}

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