(1,0 ponto) Calcule
\oint_{C}\left(e^{x^{2}}+3 x^{2} y\right) d x+\left[\cos \left(y^{2}+1\right)+x^{3}+x\right] d y
onde C é a circunferência (x-1)^{2}+(y+2)^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha fechada
\oint_{C}\left(e^{x^{2}}+3 x^{2} y\right) d x+\left[\cos \left(y^{2}+1\right)+x^{3}+x\right] d y,
onde C é a circunferência dada por
(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=4.
Informações relevantes fornecidas:
  • A integral é do tipo \displaystyle\oint_{C}P\,dx+Q\,dy com P(x,y)=e^{x^{2}}+3x^{2}y,\qquad Q(x,y)=\cos\bigl(y^{2}+1\bigr)+x^{3}+x.
  • A curva C é uma circunferência de centro (1,-2) e raio 2.
  • Pede-se o valor da integral sobre toda a curva fechada C.

Passo 2

Escolha do método: como a integral é de um campo vetorial no plano sobre uma curva fechada simples (uma circunferência), a ferramenta natural é o Teorema de Green, que transforma a integral de linha num integral dupla sobre a região interior D limitada por C. Vou assumir a orientação positiva (contra-horária), que é a convenção usual quando a orientação não é informada. Se a orientação fosse a oposta, o resultado mudaria de sinal; aqui usarei a orientação positiva.
Enunciando o Teorema de Green de forma didática: seja P(x,y) e Q(x,y) funções com derivadas parciais contínuas num conjunto que contém a região simples D e sua fronteira C. O Teorema de Green diz
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
O que isso significa, em palavras: a circulação do campo (P,Q) ao longo da fronteira C é igual à integral sobre a área de D da diferença entre a taxa de variação de Q na direção x e a taxa de variação de P na direção y. Aqui dA é o elemento de área.

Passo 3

Verificar condições de aplicação: P e Q são combinações de exponencial, polinômios e cosseno, logo têm derivadas parciais contínuas em todo \mathbb{R}^{2}. A região D (o disco centrado em (1,-2) de raio 2) é uma região simples e fechada. Portanto, podemos aplicar Green.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\cos(y^{2}+1)+x^{3}+x\bigr)=0+3x^{2}+1=3x^{2}+1,
pois \cos(y^{2}+1) não depende de x.
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x^{2}}+3x^{2}y\bigr)=0+3x^{2}=3x^{2},
pois e^{x^{2}} não depende de y.
Subtraindo:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=(3x^{2}+1)-3x^{2}=1.

Passo 5

Avaliar a integral dupla sobre D. Pelo Teorema de Green,
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}1\,dA.
A integral dupla de 1 sobre D é simplesmente a área de D. Como D é um disco de raio 2,
\iint_{D}1\,dA=\text{Área}(D)=\pi r^{2}=\pi\cdot 2^{2}=4\pi.Á

Resposta

4\pi

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