(1,0 ponto) Calcule
onde
é a circunferência
.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha fechada
onde
é a circunferência dada por
Informações relevantes fornecidas:
- A integral é do tipo
com - A curva
é uma circunferência de centro e raio . - Pede-se o valor da integral sobre toda a curva fechada
.
Passo 2
Escolha do método: como a integral é de um campo vetorial no plano sobre uma curva fechada simples (uma circunferência), a ferramenta natural é o Teorema de Green, que transforma a integral de linha num integral dupla sobre a região interior
limitada por
. Vou assumir a orientação positiva (contra-horária), que é a convenção usual quando a orientação não é informada. Se a orientação fosse a oposta, o resultado mudaria de sinal; aqui usarei a orientação positiva.
Enunciando o Teorema de Green de forma didática: seja
e
funções com derivadas parciais contínuas num conjunto que contém a região simples
e sua fronteira
. O Teorema de Green diz
O que isso significa, em palavras: a circulação do campo
ao longo da fronteira
é igual à integral sobre a área de
da diferença entre a taxa de variação de
na direção
e a taxa de variação de
na direção
. Aqui
é o elemento de área.
Passo 3
Verificar condições de aplicação:
e
são combinações de exponencial, polinômios e cosseno, logo têm derivadas parciais contínuas em todo
. A região
(o disco centrado em
de raio
) é uma região simples e fechada. Portanto, podemos aplicar Green.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando:
pois
não depende de
.
pois
não depende de
.
Subtraindo:
Subtraindo:
Passo 5
Avaliar a integral dupla sobre
. Pelo Teorema de Green,
A integral dupla de
sobre
é simplesmente a área de
. Como
é um disco de raio
,