(2,5 pontos) Dado o campo de vetores
\vec{F}(x, y)=\frac{-y}{(x-1)^{2}+y^{2}} \vec{i}+\frac{x-1}{(x-1)^{2}+y^{2}} \vec{j}
calcule \oint_{C} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d r}, onde C é a fronteira da região delimitada por y=-x-2 e y=-x^{2}+4, orientada positivamente.

Passo 1

Vou explicitar claramente o que o enunciado pede e quais dados temos. O campo de vetores é
\vec{F}(x,y)=\frac{-y}{(x-1)^{2}+y^{2}}\;\vec{i}+\frac{x-1}{(x-1)^{2}+y^{2}}\;\vec{j}.
A curva C é a fronteira da região limitada por y=-x-2 e y=-x^{2}+4, orientada positivamente (ou seja, no sentido anti-horário). O que o enunciado pede é calcular
\oint_{C}\vec{F}\cdot\overrightarrow{d r}.
Informações importantes dadas pelo enunciado que vou usar:
  • As duas curvas que formam a fronteira são y_{1}(x)=-x-2 (reta) e y_{2}(x)=-x^{2}+4 (parábola).
  • Para encontrar os pontos de interseção, resolverei -x-2 = -x^{2}+4.
  • O campo \vec{F} tem um denominador (x-1)^{2}+y^{2}, logo há uma singularidade em (x,y)=(1,0). Preciso verificar se esse ponto está dentro da região limitada por y=-x-2 e y=-x^{2}+4, porque isso afeta a aplicação do Teorema de Green.

Passo 2

Encontrar as interseções entre as curvas para saber a região fechada. Resolver
-x-2 = -x^{2}+4.
Rearranjando,
x^{2}-x-6=0.
Fatorando,
(x-3)(x+2)=0,
portanto x=3 ou x=-2. As correspondentes ordenadas pela reta são:
\text{para }x=3:\; y=-3-2=-5,\qquad \text{para }x=-2:\; y=2-2=0.
Logo os pontos de interseção são (-2,0) e (3,-5). A região limitada é o conjunto de pontos com -2\le x\le 3 onde a parábola está acima da reta, isto é
-y_{1}(x)=-x-2 \le y \le y_{2}(x)=-x^{2}+4.

Passo 3

Verificar se a singularidade (1,0) está dentro da região. Para x=1 temos
y_{2}(1)=-1+4=3,\qquad y_{1}(1)=-1-2=-3.
Como -3 \le 0 \le 3, o ponto (1,0) está estritamente entre as curvas no intervalo x\in[-2,3]. Conclusão: a singularidade (1,0) está dentro da região limitada por C. Isso impede aplicar diretamente o Teorema de Green na região inteira porque \vec{F} não é definida em (1,0).

Passo 4

Estratégia para contornar a singularidade (ideia didática): remover um pequeno disco centrado em (1,0) de raio \varepsilon>0 suficientemente pequeno, chamando a nova região R_{\varepsilon}. Em R_{\varepsilon} o campo \vec{F} é C^{1}, então se aplicarmos o Teorema de Green em R_{\varepsilon} obtemos
\oint_{\partial R_{\varepsilon}} \vec{F}\cdot d\vec r = \iint_{R_{\varepsilon}} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dA,
onde P(x,y)=\dfrac{-y}{(x-1)^{2}+y^{2}} e Q(x,y)=\dfrac{x-1}{(x-1)^{2}+y^{2}}. Vou calcular a expressão do rotacional (curl) para pontos fora da singularidade e mostrar que é zero, o que simplifica muito.

Passo 5

Cálculo do rotacional fora da singularidade. Para simplificar, defina u=x-1 e v=y. Então
P=-\frac{v}{u^{2}+v^{2}},\qquad Q=\frac{u}{u^{2}+v^{2}}.
Calcule \dfrac{\partial Q}{\partial x} e \dfrac{\partial P}{\partial y}. Como u=x-1 e v=y,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{d}{du}\!\left(\frac{u}{u^{2}+v^{2}}\right)\cdot\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{(u^{2}+v^{2})-2u^{2}}{(u^{2}+v^{2})^{2}} =\frac{v^{2}-u^{2}}{(u^{2}+v^{2})^{2}}.
De forma análoga,
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{d}{dv}\!\left(-\frac{v}{u^{2}+v^{2}}\right)\cdot\frac{\partial v}{\partial y} =\frac{- (u^{2}+v^{2})+2v^{2}}{(u^{2}+v^{2})^{2}} =\frac{v^{2}-u^{2}}{(u^{2}+v^{2})^{2}}.
Logo
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0
para todo (x,y)\neq(1,0). Portanto o integrando da área na expressão de Green é zero em R_{\varepsilon}, o que implica
\oint_{\partial R_{\varepsilon}} \vec{F}\cdot d\vec r = 0.

Passo 6

Analisar a orientação das fronteiras de R_{\varepsilon}. A fronteira de R_{\varepsilon} é a união da curva externa C (a fronteira original, orientada positivamente — CCW) e da circunferência pequena \gamma_{\varepsilon} (a fronteira do disco removido). Pelo convenio de orientação para regiões com buracos, a curva \gamma_{\varepsilon} aparece orientada no sentido horário quando se toma a fronteira de R_{\varepsilon}. Escrevendo a soma dos integrais sobre as duas componentes da fronteira e usando que a integral total é zero, temos
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec r+\oint_{\gamma_{\varepsilon}\\ (\text{horário})}\vec{F}\cdot d\vec r=0.á
Como a integral na circunferência com orientação horária é o negativo da integral com orientação anti-horária (CCW), isto é
\oint_{\gamma_{\varepsilon}\\ (\text{horário})}\vec{F}\cdot d\vec r = -\oint_{\gamma_{\varepsilon}\\ (\text{CCW})}\vec{F}\cdot d\vec r,á
segue
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec r = \oint_{\gamma_{\varepsilon}\\ (\text{CCW})}\vec{F}\cdot d\vec r.
Portanto basta calcular o integral de \vec{F} sobre uma pequena circunferência centrada em (1,0) com orientação CCW.

Passo 7

Calcular explicitamente o integral sobre a circunferência pequena centrada em (1,0). Parametrize a circunferência de raio r (vou chamar r=\varepsilon, mas o valor não importa) por
x=1+r\cos t,\qquad y=r\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
Nessa parametrização temos u=x-1=r\cos t e v=y=r\sin t. O vetor diferencial é
d\vec r = (dx,dy)=( -r\sin t,\, r\cos t)\,dt.
O campo \vec{F} na parametrização vale
\vec{F}=\frac{(-v,u)}{u^{2}+v^{2}}=\frac{(-r\sin t,\, r\cos t)}{r^{2}}=\left(-\frac{\sin t}{r},\,\frac{\cos t}{r}\right).
O produto escalar é
\vec{F}\cdot d\vec r = \left(-\frac{\sin t}{r}\right)(-r\sin t)\,dt + \left(\frac{\cos t}{r}\right)(r\cos t)\,dt = (\sin^{2}t+\cos^{2}t)\,dt = 1\cdot dt.
Portanto
\oint_{\gamma_{\varepsilon}\\ (\text{CCW})}\vec{F}\cdot d\vec r = \int_{0}^{2\pi} 1\,dt = 2\pi.

Passo 8

Concluir: pela igualdade obtida no Passo 6,
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec r = \oint_{\gamma_{\varepsilon}\\ (\text{CCW})}\vec{F}\cdot d\vec r = 2\pi.
Ou seja, a circulação de \vec{F} ao longo da fronteira C orientada positivamente vale 2\pi.

Resposta

2\pi

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