A curva C é a fronteira da região limitada por y=-x-2 e y=-x^{2}+4, orientada positivamente (ou seja, no sentido anti-horário). O que o enunciado pede é calcular
\oint_{C}\vec{F}\cdot\overrightarrow{d r}.
Informações importantes dadas pelo enunciado que vou usar:
As duas curvas que formam a fronteira são y_{1}(x)=-x-2 (reta) e y_{2}(x)=-x^{2}+4 (parábola).
Para encontrar os pontos de interseção, resolverei -x-2 = -x^{2}+4.
O campo \vec{F} tem um denominador (x-1)^{2}+y^{2}, logo há uma singularidade em (x,y)=(1,0). Preciso verificar se esse ponto está dentro da região limitada por y=-x-2 e y=-x^{2}+4, porque isso afeta a aplicação do Teorema de Green.
Passo 2
Encontrar as interseções entre as curvas para saber a região fechada. Resolver
-x-2 = -x^{2}+4.
Rearranjando,
x^{2}-x-6=0.
Fatorando,
(x-3)(x+2)=0,
portanto x=3 ou x=-2. As correspondentes ordenadas pela reta são:
Logo os pontos de interseção são (-2,0) e (3,-5). A região limitada é o conjunto de pontos com -2\le x\le 3 onde a parábola está acima da reta, isto é
-y_{1}(x)=-x-2 \le y \le y_{2}(x)=-x^{2}+4.
Passo 3
Verificar se a singularidade (1,0) está dentro da região. Para x=1 temos
y_{2}(1)=-1+4=3,\qquad y_{1}(1)=-1-2=-3.
Como -3 \le 0 \le 3, o ponto (1,0) está estritamente entre as curvas no intervalo x\in[-2,3]. Conclusão: a singularidade (1,0) está dentro da região limitada por C. Isso impede aplicar diretamente o Teorema de Green na região inteira porque \vec{F} não é definida em (1,0).
Passo 4
Estratégia para contornar a singularidade (ideia didática): remover um pequeno disco centrado em (1,0) de raio \varepsilon>0 suficientemente pequeno, chamando a nova região R_{\varepsilon}. Em R_{\varepsilon} o campo \vec{F} é C^{1}, então se aplicarmos o Teorema de Green em R_{\varepsilon} obtemos
\oint_{\partial R_{\varepsilon}} \vec{F}\cdot d\vec r = \iint_{R_{\varepsilon}} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dA,
onde P(x,y)=\dfrac{-y}{(x-1)^{2}+y^{2}} e Q(x,y)=\dfrac{x-1}{(x-1)^{2}+y^{2}}. Vou calcular a expressão do rotacional (curl) para pontos fora da singularidade e mostrar que é zero, o que simplifica muito.
Passo 5
Cálculo do rotacional fora da singularidade. Para simplificar, defina u=x-1 e v=y. Então
para todo (x,y)\neq(1,0). Portanto o integrando da área na expressão de Green é zero em R_{\varepsilon}, o que implica
\oint_{\partial R_{\varepsilon}} \vec{F}\cdot d\vec r = 0.
Passo 6
Analisar a orientação das fronteiras de R_{\varepsilon}. A fronteira de R_{\varepsilon} é a união da curva externa C (a fronteira original, orientada positivamente — CCW) e da circunferência pequena \gamma_{\varepsilon} (a fronteira do disco removido). Pelo convenio de orientação para regiões com buracos, a curva \gamma_{\varepsilon} aparece orientada no sentido horário quando se toma a fronteira de R_{\varepsilon}. Escrevendo a soma dos integrais sobre as duas componentes da fronteira e usando que a integral total é zero, temos
Como a integral na circunferência com orientação horária é o negativo da integral com orientação anti-horária (CCW), isto é
\oint_{\gamma_{\varepsilon}\\ (\text{horário})}\vec{F}\cdot d\vec r = -\oint_{\gamma_{\varepsilon}\\ (\text{CCW})}\vec{F}\cdot d\vec r,á
segue
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec r = \oint_{\gamma_{\varepsilon}\\ (\text{CCW})}\vec{F}\cdot d\vec r.
Portanto basta calcular o integral de \vec{F} sobre uma pequena circunferência centrada em (1,0) com orientação CCW.
Passo 7
Calcular explicitamente o integral sobre a circunferência pequena centrada em (1,0). Parametrize a circunferência de raio r (vou chamar r=\varepsilon, mas o valor não importa) por
x=1+r\cos t,\qquad y=r\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
Nessa parametrização temos u=x-1=r\cos t e v=y=r\sin t. O vetor diferencial é