Seja a reação de segunda ordem:
A \rightarrow B
Determine o volume necessário do reator PFR, em função de \mathrm{C}_{\mathrm{A} 0}, de modo a reduzir a concentração existente para 12 \% da concentração de entrada, quando a vazão volumétrica for igual a 100 \mathrm{dm}^{3} / \mathrm{min} e a velocidade específica de reação, k , for 0,23 \mathrm{dm}^{3} / \mathrm{mol} \mathrm{min}^{-1}. \left(\mathrm{V}=3.188,41 \mathrm{C}_{\mathrm{A} 0}{ }^{-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o volume do reator PFR necessário para reduzir a concentração de A até 12\% da concentração de entrada, em função de \mathrm{C}_{\mathrm{A}0}. Dados fornecidos:
  • vazão volumétrica: v_0 = 100\\ \mathrm{dm}^3/\mathrm{min};
  • constante de velocidade: k = 0,23\\ \mathrm{dm}^3/(\mathrm{mol}\,\mathrm{min});
  • concentração saída desejada: C_A = 0{,}12\,C_{A0}.
    O objetivo final é expressar o volume V em função de C_{A0}.

Passo 2

Vamos começar pela equação de balanço de matéria para um reator PFR em regime permanente e unifásico para a espécie A. Chame de F_A o fluxo molar de A (mol/min). A equação diferencial de balanço é
\frac{dF_A}{dV}=r_A,
onde V é o volume do reator e r_A é a taxa de consumo de A por unidade de volume (mol/(dm^3·min)). Aqui F_A e r_A significam:
  • F_A = v_0 C_A (vazão volumétrica \times concentração dá fluxo molar);
  • r_A é negativa quando A está sendo consumido.

Passo 3

A reação é de segunda ordem em A. Isso significa que a taxa de consumo é proporcional ao quadrado da concentração de A. Escrevemos:
r_A = -k C_A^2,
onde k é a constante de velocidade dada e o sinal negativo indica consumo de A. Aqui C_A é a concentração instantânea de A no reator (mol/dm^3).

Passo 4

Substituímos F_A=v_0 C_A e r_A=-kC_A^2 na equação de balanço:
\frac{d(v_0 C_A)}{dV} = -k C_A^2.
Como v_0 é constante, isto simplifica para
v_0 \frac{dC_A}{dV} = -k C_A^2.
Agora separamos variáveis para integrar em V:
dV = -\frac{v_0}{k}\frac{dC_A}{C_A^2}.

Passo 5

Integramos ambos os lados do volume desde a entrada ( V=0 com C_A=C_{A0} ) até a saída ( V=V com C_A=C_A desejada):
\int_{0}^{V} dV = -\frac{v_0}{k} \int_{C_{A0}}^{C_A} \frac{dC_A}{C_A^2}.
A integral do lado direito é simples porque \int C_A^{-2} dC_A = -C_A^{-1}. Portanto obtemos:
V = \frac{v_0}{k}\left(\frac{1}{C_A} - \frac{1}{C_{A0}}\right).
Esta é a expressão geral do volume do PFR para uma reação de ordem 2 em A.

Passo 6

Agora substituímos a condição de saída C_A = 0{,}12\,C_{A0}. Calcule primeiro a diferença de inversos:
\frac{1}{C_A} - \frac{1}{C_{A0}} = \frac{1}{0{,}12\,C_{A0}} - \frac{1}{C_{A0}} = \frac{\frac{1}{0{,}12}-1}{C_{A0}} = \frac{8{,}333333\ldots -1}{C_{A0}} = \frac{7{,}333333\ldots}{C_{A0}}.
Podemos escrever 7{,}333333\ldots = \dfrac{22}{3}, então
\frac{1}{C_A} - \frac{1}{C_{A0}} = \frac{22}{3}\cdot\frac{1}{C_{A0}}.

Passo 7

Substituímos isso na fórmula do volume:
V = \frac{v_0}{k}\cdot\frac{22}{3}\cdot\frac{1}{C_{A0}}.
Agora substituímos v_0 = 100\\ \mathrm{dm}^3/\mathrm{min} e k = 0{,}23\\ \mathrm{dm}^3/(\mathrm{mol}\,\mathrm{min}):
\frac{v_0}{k} = \frac{100}{0{,}23} = 434{,}7826087\ldots
Multiplicando por \dfrac{22}{3} = 7{,}333333\ldots obtemos
V = 434{,}7826087\ldots \times 7{,}333333\ldots \times \frac{1}{C_{A0}} = 3188{,}405797\ldots \times \frac{1}{C_{A0}}.
Arredondando convenientemente (duas casas decimais) temos V = 3188{,}41\,C_{A0}^{-1}. Verificação de unidades: \dfrac{v_0}{k} tem unidades \dfrac{\mathrm{dm}^3/\mathrm{min}}{\mathrm{dm}^3/(\mathrm{mol}\,\mathrm{min})}=\mathrm{mol} e \dfrac{1}{C_{A0}} tem unidades \mathrm{dm}^3/\mathrm{mol}, logo o produto dá \mathrm{dm}^3 (volume), consistente.

Resposta

V = 3188{,}41\,C_{A0}^{-1}

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