Considere a reação \mathrm{A}+\mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C} em um CSTR de volume reacional 2000 L e vazão volumétrica de entrada de 50 \mathrm{~L} / \mathrm{min}. A reação é de primeira ordem em relação a B e de ordem zero em relação a A e a velocidade específica de reação, \mathrm{k}_{\mathrm{B}}, \mathrm{e} 0,62 \mathrm{~min}^{-1}. Calcule o valor da conversão de B .
Calcule também qual seria o volume necessário se fosse utilizado um reator tubular para obter o mesmo valor de conversão nominal para a mesma condição de alimentação do reator. Considere, em seu desenvolvimento, que os reatores operam com vazão volumétrica constante, \mathrm{v}=\mathrm{v}_{0}.
\left(X_{B}=96 \% ; V_{P F R}=260 L\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular a conversão de B no CSTR em regime permanente.
  • Calcular o volume necessário de um reator tubular (PFR) para obter a mesma conversão, assumindo vazão volumétrica constante.
Dados fornecidos (todos extraídos do enunciado):
  • Volume do CSTR: V=2000\\ \mathrm{L}.
  • Vazão volumétrica de entrada: v_0=50\\ \mathrm{L/min}.
  • Lei de velocidade: reação de primeira ordem em B e ordem zero em A; portanto a velocidade específica de consumo de B é proporcional à concentração de B apenas.
  • Constante cinética (da ordem de B): k_B=0,62\\ \mathrm{min^{-1}}.
O que será calculado:
  1. Conversão de B, X_B, no CSTR.
  2. Volume do PFR, V_{PFR}, que produz o mesmo X_B com a mesma alimentação.

Passo 2

Entendendo as variáveis e a equação de balanço para o CSTR (aula curta e direta).
  • C_{B0} = concentração de B na alimentação (mol/L).
  • C_{B} = concentração de B na saída do CSTR (mol/L).
  • v_0 = vazão volumétrica (L/min).
  • V = volume do reator (L).
  • r_B = taxa volumétrica de consumo de B (mol/L·min). Pela ordem dada, r_B=-k_B C_B (sinal negativo porque B é consumido).
  • Conversão de B: \displaystyle X_B=\frac{C_{B0}-C_B}{C_{B0}}.
Balanço molar de B em regime permanente num CSTR (princípio básico):
entrada - saída + geração (neste caso geração é negativa, consumo) = 0.
Escrevendo:
v_0 C_{B0} - v_0 C_B + V r_B = 0.
Substituindo r_B=-k_B C_B (taxa por unidade de volume):
v_0 C_{B0} - v_0 C_B - V k_B C_B = 0.

Passo 3

Isolando C_B e obtendo a expressão de conversão (desenvolvimento passo a passo).
Da equação anterior:
v_0 C_{B0} = v_0 C_B + V k_B C_B = C_B\left(v_0 + V k_B\right).
Logo,
\frac{C_B}{C_{B0}} = \frac{v_0}{v_0 + V k_B}.
A conversão é
X_B = 1 - \frac{C_B}{C_{B0}} = 1 - \frac{v_0}{v_0 + V k_B} = \frac{V k_B}{v_0 + V k_B}.
Definimos o tempo de residência médio (tau):
\tau = \frac{V}{v_0}\quad(\text{unidades: min}).
Substituindo,
X_B = \frac{k_B \tau}{1 + k_B \tau}.
Esta é a fórmula padrão para conversão em CSTR para reação de primeira ordem (em B).

Passo 4

Cálculo numérico da conversão usando os dados.
Calcule o tempo de residência:
\tau=\frac{V}{v_0}=\frac{2000\\ \mathrm{L}}{50\\ \mathrm{L/min}}=40\\ \mathrm{min}.
Calcule k_B\tau:
k_B\tau = 0,62\\ \mathrm{min^{-1}}\times 40\\ \mathrm{min} = 24,8.
Agora a conversão:
X_B = \frac{24,8}{1+24,8} = \frac{24,8}{25,8} = \frac{124}{129}\approx 0,961240\ldots
Ou seja,
X_B \approx 0{,}96124 \quad\text{(fração)} = 96{,}124\%.çã
Arredondando razoavelmente, X_B \approx 96{,}1\% (ou simplesmente 96\% conforme indicado no enunciado).

Passo 5

Equação de projeto para o PFR (explicação didática).
No PFR, cada “fatia” age como um pequeno reator perfeitamente misturado em série; para reação de primeira ordem em B e vazão constante, a equação diferencial é:
\frac{dC_B}{dV} = \frac{r_B}{v_0} = -\frac{k_B C_B}{v_0}.
Integramos de V=0 (onde C_B=C_{B0}) até V=V_{PFR} (onde C_B=C_B), obtendo:
\ln\!\left(\frac{C_{B0}}{C_B}\right) = \frac{k_B V_{PFR}}{v_0}.
Usando X_B = 1 - C_B/C_{B0}, temos C_{B0}/C_B = 1/(1-X_B). Assim:
\frac{k_B V_{PFR}}{v_0} = \ln\!\left(\frac{1}{1-X_B}\right).
Isolando V_{PFR}:
V_{PFR} = \frac{v_0}{k_B}\,\ln\!\left(\frac{1}{1-X_B}\right).
Essa é a expressão de projeto do PFR para primeira ordem.

Passo 6

Cálculo numérico do volume do PFR usando o X_B encontrado.
Podemos usar uma relação prática: da fórmula do CSTR obtemos 1-X_B = \dfrac{1}{1+k_B\tau}. Note que 1/(1-X_B) = 1 + k_B\tau. Usando isso facilita os cálculos sem perda de precisão.
Conhecemos k_B\tau = 24,8, então
\frac{1}{1-X_B} = 1 + k_B\tau = 25,8.
Logo
V_{PFR} = \frac{v_0}{k_B}\ln(25{,}8).
Calcule v_0/k_B:
\frac{v_0}{k_B}=\frac{50\\ \mathrm{L/min}}{0,62\\ \mathrm{min^{-1}}}=80{,}64516129\\ \mathrm{L}.
Agora \ln(25{,}8)\approx 3{,}249. Multiplicando:
V_{PFR}\approx 80{,}64516129\times 3{,}249 \approx 262{,}0\\ \mathrm{L}.
Arredondando, V_{PFR}\approx 262\\ \mathrm{L}. O enunciado dá 260\\ \mathrm{L} como valor aproximado — ambos estão na mesma ordem de aproximação.

Resposta

X_B = 96{,}12\%
V_{PFR} = 262\\ \mathrm{L}

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