Considere que seja utilizado um PFR para conduzir a seguinte reação elementar:
A+B \rightarrow C+D
A velocidade específica de reação é 0,025 \mathrm{dm}^{3} /( mol.s ). Tem-se que \mathrm{F}_{\mathrm{A} 0}=\mathrm{F}_{\mathrm{B} 0}=80 \mathrm{~mol} / \mathrm{s}, e que as concentrações de entrada de A e B são iguais, de 3,2 \mathrm{~mol} / \mathrm{dm}^{3}. Qual é o volume de reator necessário para obter 93% de conversão?
\left(\mathrm{V}=4,2 \mathrm{~m}^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede o volume do reator PFR necessário para atingir 93\% de conversão na reação elementar
A + B \rightarrow C + D.
Dados fornecidos:
k = 0,025\\ \mathrm{dm}^{3}\!/\!(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{s}),
F_{A0} = F_{B0} = 80\\ \mathrm{mol/s},
C_{A0} = C_{B0} = 3,2\\ \mathrm{mol/dm}^{3},
conversão desejada X = 0,93.
A pergunta é: qual o volume V do PFR que garante X=0,93?

Passo 2

Definições e ideia de solução (passo-a-passo didático):
  • Conversão de A: X \equiv \frac{F_{A0}-F_A}{F_{A0}}.
  • Para um PFR o balanço molar em termos de conversão dá a equação de projeto:
V = F_{A0}\int_{0}^{X}\frac{dX}{-r_A},
onde -r_A é a velocidade de consumo de A em unidades \mathrm{mol}/(\mathrm{dm}^3\cdot\mathrm{s}).
  • Precisamos expressar -r_A em função de X. Como a reação é elementar bimolecular A+B, a lei de velocidade é proporcional a C_A C_B:
-r_A = k\,C_A\,C_B.

Passo 3

Expressar C_A e C_B em função de X (explicação cuidadosa):
  • A alimentação é estequiométrica e com mesmas concentrações iniciais de A e B. A estequiometria é 1:1\to1:1, então o número total de mols não muda com a reação (2 reagentes formam 2 produtos). Assim o vazão volumétrica pode ser considerada constante e as concentrações variam proporcionalmente à fração que restou.
  • Se C_{A0} é a concentração inicial de A, então em qualquer seção do reator,
C_A = C_{A0}(1-X).
Como B tem a mesma alimentação e é consumido na mesma razão molar,
C_B = C_{B0}(1-X) = C_{A0}(1-X).
  • Logo a taxa é
-r_A = k\,\bigl(C_{A0}(1-X)\bigr)\,\bigl(C_{A0}(1-X)\bigr) = k\,C_{A0}^2(1-X)^2.

Passo 4

Substituir em V = F_{A0}\int_0^X dX/(-r_A) e resolver a integral (aulas sobre integral simples):
  • Substituindo,
V = \frac{F_{A0}}{k\,C_{A0}^2}\int_{0}^{X}\frac{dX}{(1-X)^2}.
  • Observação sobre a integral: a primitiva de \dfrac{1}{(1-X)^2} em relação a X é \dfrac{1}{1-X}, porque
\frac{d}{dX}\left(\frac{1}{1-X}\right)=\frac{1}{(1-X)^2}.
  • Portanto,
\int_{0}^{X}\frac{dX}{(1-X)^2}=\left[\frac{1}{1-X}\right]_{0}^{X}=\frac{1}{1-X}-1.
  • Assim a expressão fechada para o volume é
V = \frac{F_{A0}}{k\,C_{A0}^2}\left(\frac{1}{1-X}-1\right).
(Nota didática: isso faz sentido físico — à medida que X se aproxima de 1, o termo \frac{1}{1-X} cresce muito, mostrando que é preciso muito volume para conversões muito altas numa reação de segunda ordem.)

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo e verificação de unidades:
  • Primeiro calcule k\,C_{A0}^2:
C_{A0}^2=(3,2)^2=10,24\quad(\mathrm{mol}^2/\mathrm{dm}^6),
k\,C_{A0}^2=0,025\times 10,24=0,256\quad\left(\frac{\mathrm{mol}}{\mathrm{dm}^3\cdot\mathrm{s}}\right).
(Unidades: k em \mathrm{dm}^3/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{s}) multiplicado por \mathrm{mol}^2/\mathrm{dm}^6 resulta em \mathrm{mol}/(\mathrm{dm}^3\cdot\mathrm{s}), apropriado para -r_A.)
  • Agora a razão F_{A0}/(k\,C_{A0}^2):
\frac{F_{A0}}{k\,C_{A0}^2}=\frac{80}{0,256}=312{,}5\quad(\mathrm{dm}^3).
(Explicação: F_{A0} tem unidades \mathrm{mol/s} e kC_{A0}^2 tem \mathrm{mol}/(\mathrm{dm}^3\cdot\mathrm{s}); ao dividir, sobram \mathrm{dm}^3.)
  • O fator da integral com X=0,93:
\frac{1}{1-X}-1=\frac{1}{1-0,93}-1=\frac{1}{0,07}-1=14{,}285714\ldots-1=13{,}285714\ldots
  • Multiplicando:
V=312{,}5\times 13{,}285714\ldots = 4151{,}785714\ldots\\ \mathrm{dm}^3.
  • Converter para \mathrm{m}^3 (lembrando que 1\\ \mathrm{m}^3 = 1000\\ \mathrm{dm}^3):
V = \frac{4151{,}785714\ldots}{1000}=4{,}151785714\ldots\\ \mathrm{m}^3.
(Arredondamento e apresentação final ficam no campo de resposta.)

Resposta

V = 4{,}2\\ \mathrm{m}^3

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