Seja R a região delimitada pelos gráficos das equações y=\sqrt{x}, y=\sqrt{3 x-18} e y=0. Se f é uma função contínua arbitrária em R , expresse a integral dupla \iint_{\mathrm{R}} f(x, y) d \mathrm{~A} em termos de integrais iteradas.

Passo 1

O enunciado dá a região R delimitada pelas curvas
y = \sqrt{x},\quad y = \sqrt{3x - 18},\quad y = 0
e pede para escrever
\displaystyle \iint_{R} f(x,y)\,\mathrm{d}A
como integrais iteradas. O conteúdo aqui é descrição de região e troca de ordem de integração em integrais duplas.

Passo 2

Primeiro encontramos os pontos de interseção das fronteiras:
– Entre y=\sqrt{x} e y=\sqrt{3x-18}:
\sqrt{x} = \sqrt{3x-18} \;\Longrightarrow\; x = 3x - 18 \;\Longrightarrow\; x = 9, \quad y = \sqrt{9} = 3.
– Entre y=\sqrt{x} e y=0: em x=0.
– Entre y=\sqrt{3x-18} e y=0: em 3x-18=0\implies x=6.
Logo os vértices de R são (0,0), (6,0) e (9,3).

Passo 3

Descrição tipo I (faixas verticais): para cada y em [0,3], x varia da curva x=y^2 (vinda de y=\sqrt{x}) até a curva x=(y^2+18)/3 (vinda de y=\sqrt{3x-18}). Assim
\iint_{R} f(x,y)\,\mathrm{d}A = \int_{y=0}^{3} \Bigl[ \int_{x=y^2}^{\,(y^2+18)/3} f(x,y)\,\mathrm{d}x \Bigr]\mathrm{d}y.

Passo 4

Descrição tipo II (faixas horizontais): separamos em dois trechos de x:
  • Para 0 \le x \le 6, o y varia de 0 até \sqrt{x}.
  • Para 6 \le x \le 9, o y varia de \sqrt{3x-18} até \sqrt{x}.
    Logo
\iint_{R} f(x,y)\,\mathrm{d}A = \int_{x=0}^{6} \Bigl[ \int_{y=0}^{\sqrt{x}} f(x,y)\,\mathrm{d}y \Bigr]\mathrm{d}x + \int_{x=6}^{9} \Bigl[ \int_{y=\sqrt{3x-18}}^{\sqrt{x}} f(x,y)\,\mathrm{d}y \Bigr]\mathrm{d}x.

Resposta

\iint_{R} f(x,y)\,\mathrm{d}A = \int_{y=0}^{3} \int_{x=y^2}^{\,(y^2+18)/3} f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
ou equivalentemente
\iint_{R} f(x,y)\,\mathrm{d}A = \int_{x=0}^{6} \int_{y=0}^{\sqrt{x}} f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x + \int_{x=6}^{9} \int_{y=\sqrt{3x-18}}^{\sqrt{x}} f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x.

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