Calcule
\iint_{\mathrm{R}} f(x, y) d \mathrm{~A}
sendo dados:
f(x, y)=x \sqrt{y}
e R a região formada pelas as retas
y=0, x+y=2
e a parábola
x=y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}f(x,y)\,dA
onde f(x,y)=x\sqrt{y} e R é a região limitada pelas retas y=0, x+y=2 e pela parábola x=y^2.
Conteúdo: integração dupla em coordenadas cartesianas, definindo corretamente os limites de integração.

Passo 2

Precisamos encontrar os valores de y em que as curvas x=y^2 e x=2-y se intersectam:
y^2 = 2 - y \quad\Longrightarrow\quad y^2 + y - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 1 \text{ ou } y = -2.
Como a região está acima de y=0, o intervalo relevante é 0\le y\le1. Para cada y nesse intervalo, x varia de y^2 até 2-y.

Passo 3

Montamos a integral iterada em ordem dx\,dy:
\iint_{R} x\sqrt{y}\,dA = \int_{y=0}^{1}\!\int_{x=y^2}^{2-y} x\sqrt{y}\,dx\,dy.

Passo 4

Integramos primeiro em x, tratando \sqrt{y} como constante:
\int_{x=y^2}^{2-y} x\sqrt{y}\,dx = \sqrt{y}\,\Bigl[\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{x=y^2}^{x=2-y} = \frac{\sqrt{y}}{2}\bigl((2-y)^2 - (y^2)^2\bigr).

Passo 5

Expandimos e passamos à integral em y:
\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\bigl(4 - 4y + y^2 - y^4\bigr)\sqrt{y}\,dy = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\bigl(4y^{\tfrac12}-4y^{\tfrac32}+y^{\tfrac52}-y^{\tfrac92}\bigr)dy.
Calculando termo a termo:
\frac{1}{2}\Bigl[\tfrac{8}{3}y^{\tfrac32}-\tfrac{8}{5}y^{\tfrac52}+\tfrac{2}{7}y^{\tfrac72}-\tfrac{2}{11}y^{\tfrac{11}{2}}\Bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\Bigl(\tfrac{8}{3}-\tfrac{8}{5}+\tfrac{2}{7}-\tfrac{2}{11}\Bigr) = \frac{676}{1155}.

Resposta

\displaystyle \frac{676}{1155}.

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