- Seja
a região do plano
delimitada pelas parábolas
e
.
(a) Calcule a área de
. Compare a maneira como você resolve esta questão por meio de uma integral dupla com o método que você usava para resolver um problema como este quando era aluno de Cálculo 1.
(b) Calcule
.
(a) Calcule a área de
(b) Calcule
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A região
é a parte do plano limitada por duas parábolas: - a curva inferior:
, - a curva superior:
.
- a curva inferior:
- Perguntas:
(a) Calcular a área de. Comparar a resolução por integral dupla com o método “Cálculo 1” (ou seja, integral simples de uma função da outra).
(b) Calcular.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As fronteiras são curvas do tipo
, logo é natural descrever como um “tipo I”: . - Precisamos achar os pontos de intersecção (valores
onde as duas parábolas se cruzam) para obter os limites e .
Passo 2
Achar as abscissas
das intersecções resolvendo
- Igualando:
- Colocando tudo na mesma lado:
- Essa é uma quadrática. Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto as intersecções ocorrem em
com
.
Observação (útil para a geometria da região): para
temos
e
, logo a parábola
é a fronteira superior entre as intersecções, e
é a fronteira inferior.
Passo 3
(a) Calcular a área de
por integral simples (método de Cálculo 1) — montar a integral única e resolver.
- Como
é do tipo I, a fórmula da área é - Substituindo as funções:
e . Logo - A integral da área fica
- Calcular uma antiderivada:
- Avaliando entre
e : Para simplificar essa diferença é útil fatorar usando e as somas/produtos dos raízes da quadrática que encontramos em
Passo 4
- Em vez de expandir direto, observe que podemos escrever
(Isto vem do fatoramento vezes soma de potências; o importante é que tudo que aparece pode ser expresso em termos de e .) - Calculemos cada parte:
Agora o colchete:
Calcule cada termo:
, e
. Portanto o colchete vale
- Então a área é
Comentário comparativo (método integral dupla vs Cálculo 1):
- Aqui, pelo método de Cálculo 1 usamos uma única integral em
: . - A integral dupla seria escrita como
e, convertendo para integrais iteradas do tipo I, dá a mesma integral: ou seja, o resultado e o procedimento computacional coincidem. A abordagem “integral dupla” deixa explícito que estamos integrando uma função sobre uma região e é a forma que generaliza melhor para integrais de outras funções (parte (b)). Em Cálculo 1 tipicamente se calcula área exatamente da mesma maneira (uma única integral com alturas top-bottom). A diferença é apenas de notação e de perspectiva; do ponto de vista prático, para encontrar a área entre duas curvas é a mesma integral única.
Passo 5
(b) Calcular
montando a integral iterada e explicando passo a passo.
- Como
é do tipo I (ver
Passo 6
- Primeiro fazemos a integral interna em
. Para uma função , é constante na integração em . Assim - Substituindo
e , definimos E também usaremos onde É vantajoso fatorar dessa forma porque é precisamente o fator que se anula nas fronteiras e . - Vamos calcular
explicitamente (passo algébrico direto):
Somando:
- Logo a integral dupla reduz-se a
Este é um polinômio em ; multiplicando e simplificando obtemos um polinômio de grau . Escrevendo explicitamente (passo de algebra): de modo que - Agora integramos termo a termo (antiderivada polinomial). Uma antiderivada
de é Assim - Fazer
é só avaliar o polinômio em e . A avaliação direta dá um número real; a expressão exata pode ser obtida em termos de porque são expressíveis com , mas a manipulação algébrica para escrever numa forma fechada com coeficientes racionais e é extensa (envolve combinar potências de e e usar e ). Para fins práticos (e exatamente executável numa prova com papel e lápis, embora trabalhoso), pode-se expandir e simplificar; aqui eu apresento o resultado numérico exato ao final. - Efetuando a avaliação numérica (cálculo direto das potências de
e e substituição em ), obtemos
Observação didática sobre os passos técnicos:
- A montagem da integral iterada é o passo conceitual mais importante: é isto que garante que se está integrando sobre a região correta.
- A técnica de integrar primeiro em
e depois em é a mais natural quando as curvas são dadas como . - Quando a expressão para o integrando e as curvas são polinomiais, o cálculo final reduz-se a integrais de polinômios (antiderivadas polinomiais), que podem ser feitas sem calculadora; a parte trabalhosa é a álgebra de simplificação e avaliação nas raízes
. Em provas, é comum que os coeficientes simplifiquem bastante; aqui tivemos polinômios de grau alto, então a expressão final é longa mas completamente feitoria.
Passo 7
Resumo final dos resultados que pediram:
-
Área exata (parte a):
-
Valor da integral dupla (parte b):