- Calcule
, se a região de integração é o retângulo
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede calcular a integral dupla
. - A região de integração é o retângulo
. - Ou seja,
varia de a e varia de a .
Resumo das informações relevantes: - Integrando sobre
com a função . - Não há pontos com
na região (pois ), então qualquer divisão por será segura.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (sem entrar em contas ainda):
- A função
é contínua em todo o retângulo , então pelo Teorema de Fubini podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada. - É conveniente integrar primeiro em relação a
porque, ao tratar como constante, a primitiva de em relação a é simples (aparece dividida por ). - Logo vamos calcular
Passo 3
Calcular a integral interna em relação a
:
- Como
é considerado constante na integração em , pode-se escrever
- Para achar a primitiva de
em , usar que a derivada de em relação a é . Assim uma primitiva de é (lembrando que na região). Portanto
- Simplificando o fator
com obtemos
Passo 4
Agora integrar em relação a
:
- Substituindo o resultado da integral interna, a integral dupla vira a integral unidimensional
- Calcular primitivas:
e . Assim uma primitiva da diferença é
- Avaliando entre
e :
- Usando que o cosseno é função par (
), isso fica
- Agrupando termos:
Passo 5
Interpretação final e checagem rápida:
- A expressão final está em termos de cossenos de ângulos em radianos (pois não foi especificada outra unidade). É uma forma exata e adequada para resposta em provas sem uso de calculadora.
- Se for necessário um valor numérico aproximado, pode-se calcular numericamente
, , , , mas a forma exata fica mais elegante e exata.