1. Calcule \iint_{R} x \cos (x y) d A, se a região de integração é o retângulo R=[-2,-1] \times[1,3].

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede calcular a integral dupla \iint_{R} x\cos(xy)\,dA.
  • A região de integração é o retângulo R = [-2,-1]\times[1,3].
  • Ou seja, x varia de -2 a -1 e y varia de 1 a 3.
    Resumo das informações relevantes:
  • Integrando sobre R com a função f(x,y)=x\cos(xy).
  • Não há pontos com x=0 na região (pois x\in[-2,-1]), então qualquer divisão por x será segura.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (sem entrar em contas ainda):
  • A função f(x,y)=x\cos(xy) é contínua em todo o retângulo R, então pelo Teorema de Fubini podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada.
  • É conveniente integrar primeiro em relação a y porque, ao tratar x como constante, a primitiva de \cos(xy) em relação a y é simples (aparece \sin(xy) dividida por x).
  • Logo vamos calcular
\iint_{R} x\cos(xy)\,dA=\int_{x=-2}^{-1}\left(\int_{y=1}^{3} x\cos(xy)\,dy\right)dx.

Passo 3

Calcular a integral interna em relação a y:
  • Como x é considerado constante na integração em y, pode-se escrever
\int_{y=1}^{3} x\cos(xy)\,dy = x\int_{y=1}^{3}\cos(xy)\,dy.
  • Para achar a primitiva de \cos(xy) em y, usar que a derivada de \sin(xy) em relação a y é x\cos(xy). Assim uma primitiva de \cos(xy) é \dfrac{1}{x}\sin(xy) (lembrando que x\neq0 na região). Portanto
x\int_{y=1}^{3}\cos(xy)\,dy = x\left[\frac{1}{x}\sin(xy)\right]_{y=1}^{y=3}.
  • Simplificando o fator x com 1/x obtemos
x\left[\frac{1}{x}\sin(xy)\right]_{1}^{3} = \sin(3x)-\sin(x).

Passo 4

Agora integrar em relação a x:
  • Substituindo o resultado da integral interna, a integral dupla vira a integral unidimensional
\int_{x=-2}^{-1} \big(\sin(3x)-\sin(x)\big)\,dx.
  • Calcular primitivas: \int \sin(3x)\,dx = -\dfrac{1}{3}\cos(3x) e \int \sin(x)\,dx = -\cos(x). Assim uma primitiva da diferença é
-\frac{1}{3}\cos(3x)+\cos(x).
  • Avaliando entre x=-2 e x=-1:
\left[-\frac{1}{3}\cos(3x)+\cos(x)\right]_{x=-2}^{x=-1} = \Big(-\tfrac{1}{3}\cos(3(-1))+\cos(-1)\Big) - \Big(-\tfrac{1}{3}\cos(3(-2))+\cos(-2)\Big).
  • Usando que o cosseno é função par ( \cos(-t)=\cos(t)), isso fica
-\tfrac{1}{3}\cos(3)+\cos(1) + \tfrac{1}{3}\cos(6)-\cos(2).
  • Agrupando termos:
\frac{1}{3}\big(\cos(6)-\cos(3)\big) + \big(\cos(1)-\cos(2)\big).

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida:
  • A expressão final está em termos de cossenos de ângulos em radianos (pois não foi especificada outra unidade). É uma forma exata e adequada para resposta em provas sem uso de calculadora.
  • Se for necessário um valor numérico aproximado, pode-se calcular numericamente \cos(1), \cos(2), \cos(3), \cos(6), mas a forma exata fica mais elegante e exata.

Resposta

\dfrac{1}{3}\big(\cos(6)-\cos(3)\big)+\big(\cos(1)-\cos(2)\big)

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