1. Uma placa triangular tem o formato descrito pela região triangular no plano x y com vértices (1,0),(0,1) e (1,1). Se a função densidade é dada por \rho(x, y)=\sqrt{1+x^{2}}, calcule e massa da placa. Sugestão: escreva a integral dupla correspondente como integral iterada de duas formas, e observe que uma delas é bem mais fácil de calcular que a outra.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A placa triangular ocupa a região do plano xy com vértices em (1,0), (0,1) e (1,1).
  • A densidade superficial é \rho(x,y)=\sqrt{1+x^{2}}.
O que é pedido:
  • Calcular a massa da placa, ou seja, a integral dupla da densidade sobre a região triangular.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os lados do triângulo são as retas que ligam os vértices: a reta entre (0,1) e (1,0) tem equação y=1-x; as outras duas são x=1 e y=1.
  • A massa será
m=\iint_{D}\rho(x,y)\,dA=\iint_{D}\sqrt{1+x^{2}}\,dA,
onde D é a região triangular indicada.

Passo 2

Descrição da região D de duas maneiras (essas duas descrições correspondem às duas ordens possíveis de integração):
  • Como tipo “vertical” (variando y internamente): para x fixo em [0,1], o y varia entre a reta y=1-x (embaixo) e a reta y=1 (embaixo para cima). Assim
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;1-x\le y\le 1\}.
  • Como tipo “horizontal” (variando x internamente): para y fixo em [0,1], o x varia entre a reta x=1-y (à esquerda) e a reta x=1 (à direita). Assim
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\;1-y\le x\le 1\}.
(Verifique mentalmente: em x=0 temos só o ponto y=1; em x=1 temos y de 0 a 1 — bate com os vértices dados.)

Passo 3

Escrever a integral dupla como integral iterada nas duas ordens:
  • Integrando primeiro em y e depois em x (ordem dy\,dx):
m=\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=1-x}^{1}\sqrt{1+x^{2}}\,dy\right)dx.
  • Integrando primeiro em x e depois em y (ordem dx\,dy):
m=\int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=1-y}^{1}\sqrt{1+x^{2}}\,dx\right)dy.
Observação sobre qual é mais fácil: a densidade \rho(x,y)=\sqrt{1+x^{2}} depende somente de x, não de y. Portanto, na primeira ordem (integrando em y primeiro) a integral interna é simples (multiplica-se por comprimento em y). Na segunda ordem aparece \int\sqrt{1+x^{2}}\,dx, cuja primitiva é mais complicada (envolve funções logarítmicas ou \operatorname{arsinh}). Por isso a primeira ordem é muito mais prática.

Passo 4

Calcular a massa pela ordem mais fácil (integrar em y primeiro).
Partimos de
m=\int_{0}^{1}\left(\int_{1-x}^{1}\sqrt{1+x^{2}}\,dy\right)dx.
A função \sqrt{1+x^{2}} é constante em relação a y na integral interna, então
\int_{1-x}^{1}\sqrt{1+x^{2}}\,dy=\sqrt{1+x^{2}}\cdot\bigl[y\bigr]_{y=1-x}^{y=1} =\sqrt{1+x^{2}}\cdot\bigl(1-(1-x)\bigr)=\sqrt{1+x^{2}}\cdot x.
Logo
m=\int_{0}^{1} x\sqrt{1+x^{2}}\,dx.
Agora calculamos essa integral por substituição. Faça a troca
u=1+x^{2}\quad\Rightarrow\quad du=2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{1}{2}\,du.
Quando x=0 temos u=1; quando x=1 temos u=2. Assim
m=\int_{u=1}^{2} \frac{1}{2}u^{1/2}\,du=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{2}=\frac{1}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr).
Podemos reescrever 2^{3/2}=2\sqrt{2}, obtendo
m=\frac{1}{3}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr).

Passo 5

Breve comentário sobre a outra ordem (opcional, para comparação): se tentássemos integrar primeiro em x teríamos
\int_{1-y}^{1}\sqrt{1+x^{2}}\,dx,
cuja primitiva é
\int\sqrt{1+x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\bigl(x\sqrt{1+x^{2}}+\operatorname{arsinh}x\bigr)+C
ou, equivalentemente, envolve \ln\!\bigl(x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr). Avaliar essa expressão entre x=1-y e x=1 e depois integrar em y dá um cálculo bem mais trabalhoso — por isso escolhemos a ordem que dá x\sqrt{1+x^{2}} imediatamente.

Resposta

\displaystyle m=\frac{1}{3}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr)

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