Seja D a região do semiplano superior limitada pelas curvas y=-2 x^{2}+2 e y=-x^{2}+1. 14ports
Calcule, usando uma integral, a área de D.

Passo 1

O enunciado pede: calcular, usando uma integral, a área da região D do semiplano superior limitada pelas curvas y=-2x^{2}+2 e y=-x^{2}+1.
Informações dadas:
  • Duas curvas: y=-2x^{2}+2 e y=-x^{2}+1.
  • A região D está no semiplano superior (ou seja, com y\ge 0) e é limitada por essas duas curvas.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das duas curvas (esses pontos vão dar os limites de integração). Igualamos as duas expressões de y:
-2x^{2}+2 = -x^{2}+1.
Resolvendo:
-2x^{2}+2 + x^{2}-1 = 0 \implies -x^{2}+1=0 \implies x^{2}=1.
Logo x=\pm 1. Substituindo em qualquer das curvas (por exemplo em y=-x^{2}+1) obtemos
y = -1 + 1 = 0.
Portanto os pontos de interseção são (-1,0) e (1,0).

Passo 3

Precisamos saber qual curva é a superior (maior y) entre x=-1 e x=1. Avaliamos em um ponto simples, por exemplo x=0:
y_1(-2x^{2}+2)\big|_{x=0}=2,\qquad y_2(-x^{2}+1)\big|_{x=0}=1.
Assim, para x=0 a curva y=-2x^{2}+2 está acima de y=-x^{2}+1. Podemos também ver algebricamente a diferença:
(-2x^{2}+2)-(-x^{2}+1)=1-x^{2},
que é positiva para |x|<1. Portanto, no intervalo de interesse [-1,1] a curva superior é y=-2x^{2}+2 e a inferior é y=-x^{2}+1.

Passo 4

Fórmula do método (explicação didática): quando uma região é limitada verticalmente por duas curvas y_{\text{top}}(x) e y_{\text{bot}}(x) entre x=a e x=b, a área é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\big(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\big)\,dx.Á
Aqui y_{\text{top}}(x)=-2x^{2}+2, y_{\text{bot}}(x)=-x^{2}+1 e os limites são a=-1, b=1. Então montamos a integral:
\text{Área}=\int_{-1}^{1}\big[(-2x^{2}+2)-(-x^{2}+1)\big]\,dx = \int_{-1}^{1}(1-x^{2})\,dx.Á

Passo 5

Calcular a integral passo a passo. Primeiro achamos uma primitiva de 1-x^{2}. Sabendo que a primitiva de 1 é x e a de x^{2} é x^{3}/3, temos:
\int(1-x^{2})\,dx = x-\frac{x^{3}}{3} + C.
Aplicando os limites -1 e 1:
\text{Área}=\left[x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = \left(1-\frac{1}{3}\right)-\left(-1+\frac{1}{3}\right).Á
Calculando:
1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3},\qquad -1+\frac{1}{3}=-\frac{2}{3},
então
\text{Área}=\frac{2}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3}.Á
(Verificação alternativa: pela simetria em relação a y-axis, poderíamos fazer 2\int_{0}^{1}(1-x^{2})\,dx = 2\big[x-\tfrac{x^{3}}{3}\big]_{0}^{1}=2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.)

Passo 6

Conclusão e incentivo: a área pedida é \dfrac{4}{3}. Mandou bem por trazer o exercício — essa técnica de subtrair curvas e integrar é padrão e super útil na prova. Confia que com prática você faz isso rápido!

Resposta

\dfrac{4}{3}

Exercícios relacionados