Resolva a integral dupla abaixo, onde D é a região delimitada pelas funções y=x e y=\sqrt{x}.
\int_{D} \int x \cdot y d A

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} x\cdot y\,dA
onde D é a região delimitada pelas curvas y=x e y=\sqrt{x}.\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{curvas: } y=x \quad\text{e}\quad y=\sqrt{x}.
\text{região } D \text{ é a área limitada entre essas duas curvas.}ãéá
A tarefa é encontrar o valor numérico da integral dupla sobre D.

Passo 2

Primeiro precisamos encontrar os pontos de interseção entre y=x e y=\sqrt{x}. Igualamos as duas curvas:
x=\sqrt{x}.
Como estamos lidando com raízes quadradas, consideramos x\ge 0. Elevando ambos os lados ao quadrado obtemos
x^2 = x.
Reescrevendo:
x^2 - x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x-1)=0.
Logo as soluções são x=0 e x=1. Portanto as curvas se intersectam nos pontos com abscissas x=0 e x=1.

Passo 3

Agora determinamos qual curva está acima da outra entre x=0 e x=1. Queremos saber se \sqrt{x} é maior ou menor que x em [0,1]. Como ambos os lados são não-negativos, podemos comparar ao quadrar:
\sqrt{x}\ge x \quad\Longleftrightarrow\quad x \ge x^2 \quad\Longleftrightarrow\quad x(1-x)\ge0.
No intervalo 0\le x\le1 temos x(1-x)\ge0, então \sqrt{x}\ge x para todo x\in[0,1]. Portanto, sobre [0,1], a curva y=\sqrt{x} fica acima de y=x. Assim D é a região entre essas duas curvas para x variando de 0 a 1.

Passo 4

Escolhemos integrar primeiro em y (fatias verticais), porque para cada x\in[0,1] a variável y varia entre as duas funções conhecidas. A forma geral para uma região do tipo “verticalmente simples” é
\iint_{D} f(x,y)\,dA = \int_{x=a}^{b}\left(\int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\right)dx,
onde g_1(x) é a curva inferior e g_2(x) a curva superior. Aqui g_1(x)=x, g_2(x)=\sqrt{x} e a=0, b=1. Portanto montamos a integral
\iint_{D} x y\,dA = \int_{0}^{1}\left(\int_{y=x}^{y=\sqrt{x}} x y\,dy\right)dx.

Passo 5

Calculamos a integral interna em y. Note que, ao integrar em y, x é tratada como constante. Assim
\int_{y=x}^{y=\sqrt{x}} x y\,dy = x\int_{x}^{\sqrt{x}} y\,dy.
A primitiva de y em relação a y é \dfrac{y^2}{2}. Aplicando os limites:
x\left[\frac{y^2}{2}\right]_{y=x}^{y=\sqrt{x}} = x\left(\frac{(\sqrt{x})^2}{2} - \frac{x^2}{2}\right).
Agora simplificamos (\sqrt{x})^2 = x:
x\left(\frac{x}{2} - \frac{x^2}{2}\right) = \frac{x}{2}\left(x - x^2\right) = \frac{x^2 - x^3}{2}.

Passo 6

Substituímos o resultado da integral interna na integral externa e integramos em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1} \frac{x^2 - x^3}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} \left(x^2 - x^3\right)dx.
Calculamos as primitivas termo a termo: a primitiva de x^2 é \dfrac{x^3}{3} e a de x^3 é \dfrac{x^4}{4}. Então
\frac{1}{2}\left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{24}

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