Resolva a integral dupla abaixo, onde
é a região delimitada pelas funções
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região delimitada pelas curvas
e
.\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A tarefa é encontrar o valor numérico da integral dupla sobre
.
Passo 2
Primeiro precisamos encontrar os pontos de interseção entre
e
. Igualamos as duas curvas:
Como estamos lidando com raízes quadradas, consideramos
. Elevando ambos os lados ao quadrado obtemos
Reescrevendo:
Logo as soluções são
e
. Portanto as curvas se intersectam nos pontos com abscissas
e
.
Passo 3
Agora determinamos qual curva está acima da outra entre
e
. Queremos saber se
é maior ou menor que
em
. Como ambos os lados são não-negativos, podemos comparar ao quadrar:
No intervalo
temos
, então
para todo
. Portanto, sobre
, a curva
fica acima de
. Assim
é a região entre essas duas curvas para
variando de
a
.
Passo 4
Escolhemos integrar primeiro em
(fatias verticais), porque para cada
a variável
varia entre as duas funções conhecidas. A forma geral para uma região do tipo “verticalmente simples” é
onde
é a curva inferior e
a curva superior. Aqui
,
e
,
. Portanto montamos a integral
Passo 5
Calculamos a integral interna em
. Note que, ao integrar em
,
é tratada como constante. Assim
A primitiva de
em relação a
é
. Aplicando os limites:
Agora simplificamos
:
Passo 6
Substituímos o resultado da integral interna na integral externa e integramos em
de
a
:
Calculamos as primitivas termo a termo: a primitiva de
é
e a de
é
. Então