Seja G a região sólida dentro da esfera de raio 2 centrada na origem e acima do plano z=1. Em cada parte, preencha as lacunas com o integrando e os extremos de integração que faltam nas integrais iteradas em coordenadas cilíndricas.
(b) integral triplaG zx^2+y^2+z^2 d V
=integralsquare^square integralsquare^square integralsquare^square-d z d r d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente preencher as lacunas de uma integral tripla em coordenadas cilíndricas para a região sólida G , que está dentro da esfera de raio 2 centrada na origem e acima do plano z = 1 . A matéria aqui envolve coordenadas cilíndricas e integração múltipla. Vamos precisar entender como converter a integral para coordenadas cilíndricas e determinar os limites de integração para r , theta e z .

Passo 2

Primeiro, vamos converter o integrando zx^2+y^2+z^2 para coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
x = r costheta
y = r sintheta
z = z
Então, x^2 + y^2 + z^2 = r^2 + z^2 . Assim, o integrando fica:
zr^2 + z^2

Passo 3

Agora, precisamos lembrar que, ao mudar para coordenadas cilíndricas, o elemento de volume dV se transforma em r , dz , dr , dtheta . Então, nossa integral fica:
integral triplaG zr^2 + z^2 cdot r , dz , dr , dtheta

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração começando por theta . Como a região G é simétrica em torno do eixo z , theta varia de 0 a 2pi :
0 <= theta <= 2pi

Passo 5

Para r , observamos que a esfera tem raio 2. A projeção dessa região no plano xy é um círculo de raio raiz3 , já que z >= 1 e r^2 + z^2 <= 4 implica r <= raiz3 :
0 <= r <= raiz3

Passo 6

Finalmente, para z , ele varia de 1 (plano z = 1 ) até a superfície da esfera. A equação da esfera em coordenadas cilíndricas é z = raiz4 - r^2 :
1 <= z <= raiz4 - r^2

Resposta

Preenchendo as lacunas, a integral fica:
integral triplaG zx^2+y^2+z^2 , dV = integral0^2pi integral0^raiz3 integral1^raiz4 - r^2 zr^2+z^2 cdot r , dz , dr , dtheta

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