Seja
a região sólida dentro da esfera de raio 2 centrada na origem e acima do plano
. Em cada parte, preencha as lacunas com o integrando e os extremos de integração que faltam nas integrais iteradas em coordenadas cilíndricas.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente preencher as lacunas de uma integral tripla em coordenadas cilíndricas para a região sólida
, que está dentro da esfera de raio 2 centrada na origem e acima do plano
. A matéria aqui envolve coordenadas cilíndricas e integração múltipla. Vamos precisar entender como converter a integral para coordenadas cilíndricas e determinar os limites de integração para
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos converter o integrando
para coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Então,
. Assim, o integrando fica:
Passo 3
Agora, precisamos lembrar que, ao mudar para coordenadas cilíndricas, o elemento de volume
se transforma em
. Então, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração começando por
. Como a região
é simétrica em torno do eixo
,
varia de
a
:
Passo 5
Para
, observamos que a esfera tem raio 2. A projeção dessa região no plano
é um círculo de raio
, já que
e
implica
:
Passo 6
Finalmente, para
, ele varia de 1 (plano
) até a superfície da esfera. A equação da esfera em coordenadas cilíndricas é
:
Resposta
Preenchendo as lacunas, a integral fica: