Calcule a integral iterada.
integral0^2 pi integral0^1 integral0^raiz1-r^2 z r d z d r d theta

Passo 1

Temos a integral tripla em coordenadas cilíndricas sobre o hemisfério superior de raio 1:
integral0^2piintegral0^1integral0^raiz1-r^2 z,r,dz,dr,dtheta
Lembrando que o elemento de volume é dV=r,dz,dr,dtheta e a região satisfaz 0<= r<=1, 0<=theta<=2pi, 0<= z<=raiz1-r^2.

Passo 2

Fazendo primeiro a integral em z, com r fixo:
integral0^raiz1-r^2 z,dz = 12l(1 - r^2r)
Substituindo no integrando e integrando em r:
integral0^1 rcdot12(1 - r^2),dr = 12integral0^1(r - r^3),dr = 12l[r^22 - r^44r]0^1 = 12l(12-14r) = 18

Passo 3

Finalmente, integramos em theta, que dá 2pi, e multiplicamos pelos resultados anteriores:
18times2pi = pi4

Resposta

pi4

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