Verifique que
integral e^2 x cos (e^2 x) d x=12 sin (e^2 x)+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a integral integral e^2xcos(e^2x),dx é igual a tfrac12sin(e^2x)+C. O conteúdo aqui é integração por substituição, usando a regra da cadeia inversa.

Passo 2

Vamos fazer a substituição u = e^2x. Então calculamos a diferencial:
du = ddx(e^2x),dx = 2e^2x,dx
Isolando e^2x,dx, temos e^2x,dx = tfrac12,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, fica:
integral e^2xcos(e^2x),dx = integral cos(u)cdot12,du = 12integral cos(u),du

Passo 4

Agora integramos cos(u):
12integral cos(u),du = 12sin(u) + C

Passo 5

Voltando à variável original x, substituímos u = e^2x e obtemos:
12sin(e^2x) + C

Passo 6

Para confirmar, derivamos o resultado e vemos se volta ao integrando:
ddxl(tfrac12sin(e^2x)r) = tfrac12cos(e^2x)cdot ddx(e^2x) = tfrac12cos(e^2x)cdot (2e^2x) = e^2xcos(e^2x)
Isso coincide com o integrando original, provando a verificação.

Resposta

tfrac12sin(e^2x) + C

Exercícios relacionados