Ache o volume do sólido do primeiro octante, limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}+z=12 e pelo plano z=8
Escolha uma opção:
◯ a. 0
◯ b. 8 \pi
◯ C. \frac{\pi}{3}
◯ d. \frac{1}{3}
◯ e. \frac{8 \pi}{3}

Passo 1

O enunciado pede: “Ache o volume do sólido do primeiro octante, limitado pelo cilindro \,x^{2}+y^{2}+z=12\, e pelo plano \,z=8\,.”
Informações dadas:
  • A superfície dada por \,x^{2}+y^{2}+z=12\, pode ser reescrita como \,z=12-x^{2}-y^{2}.
  • O plano é \,z=8\,.
  • O sólido está no primeiro octante, ou seja, tem \,x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0.
  • A pergunta é: calcular o volume do sólido determinado por essas condições.

Passo 2

Observação sobre interpretação (ambiguidade):
  • Há duas interpretações razoáveis do enunciado:
    1. A região entre as duas superfícies (a “lente” entre \,z=12-x^{2}-y^{2} e \,z=8) restrita ao primeiro octante ( x,y\ge0).
    2. A mesma região entre as duas superfícies, mas sem restringir a \,x,y ao primeiro quadrante (ou seja, o corpo inteiro simetricamente em todo xy-plano).
Vou primeiro montar e resolver a integral seguindo literalmente “primeiro octante” (interpretação 1). Depois comento a interpretação 2 e a relação entre as respostas, porque isso afeta o resultado numérico e as alternativas da prova.
Método escolhido:
  • Usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z). Explico rapidamente por que e como usá-las:
    • Coordenadas cilíndricas são naturais quando as superfícies envolvem x^{2}+y^{2}. As relações são \,x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;x^{2}+y^{2}=r^{2}.
    • O elemento de volume em cilíndricas é \,dV=r\,dr\,d\theta\,dz. Esse fator r é o jacobiano da mudança de variáveis; ele aparece porque um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximada r\,dr\,d\theta.
    • Em provas, sempre que há simetria circular em x,y, converta para cilíndricas — fica muito mais simples.

Passo 3

Determinar os limites da região (interpretação 1: primeiro octante, região entre as superfícies onde \,z vai do plano até a superfície):
  • A interseção entre \,z=12-r^{2} e \,z=8 ocorre quando \,12-r^{2}=8. Logo r^{2}=4\quad\Rightarrow\quad r=2.
  • No primeiro octante temos \,0\le\theta\le\frac{\pi}{2} (porque \,x\ge0 e \,y\ge0 corresponde ao setor angular de \,0 a \,\pi/2).
  • Para cada (r,\theta) com 0\le r\le2 e 0\le\theta\le\pi/2, a coordenada z varia entre o plano (menor) e a superfície (maior): 8\le z \le 12-r^{2}.
  • Assim o volume é V=\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{2}\int_{z=8}^{12-r^{2}} r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcular a integral passo a passo:
  • Integral em z: \int_{z=8}^{12-r^{2}} r\,dz = r\bigl(12-r^{2}-8\bigr)=r(4-r^{2}).Aqui expliquei: a integral de r em relação a z é r\cdot z avaliada nos limites.
  • Agora integrar em r: \int_{r=0}^{2} r(4-r^{2})\,dr = \int_{0}^{2} (4r - r^{3})\,dr.Calcule os primitivos: \int 4r\,dr = 2r^{2},\qquad \int r^{3}\,dr = \frac{r^{4}}{4}.Avaliando de 0 a 2: \left[2r^{2}-\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = \left(2\cdot 4 - \frac{16}{4}\right) - 0 = 8-4 = 4.
  • Finalmente integrar em \theta: V=\int_{0}^{\pi/2} 4\,d\theta = 4\cdot\frac{\pi}{2}=2\pi.
Comentário didático sobre o resultado desta interpretação:
  • Portanto, se o enunciado for lido literalmente e tomarmos apenas o primeiro octante ( x\ge0,y\ge0,z\ge0), o volume entre \,z=8 e \,z=12-x^{2}-y^{2} é \,2\pi.
  • Atenção prática para a prova: sempre verifique a região de \theta. Primeiro octante → \,0 a \pi/2. Todo o plano xy \,0 a 2\pi.

Passo 5

Análise das alternativas e da interpretação provável:
  • A resposta que obtivemos para o primeiro octante é \,2\pi, que não aparece entre as alternativas fornecidas.
  • Observe agora a interpretação 2 (região inteira, sem restringir x,y ao primeiro quadrante). Como a região entre as superfícies é circularmente simétrica em xy, o volume total em todo o espaço (para todos os quadrantes) é exatamente 4 vezes o volume no primeiro quadrante (porque há quatro quadrantes em xy).
  • Então o volume para a região inteira (sem a restrição do primeiro octante) seria V_{\text{total}} = 4\cdot 2\pi = 8\pi.
  • Procurando entre as alternativas, encontramos \,8\pi\, como a letra (b). Isso sugere que a prova provavelmente esperava a interpretação sem restringir \,x,y ao primeiro quadrante, ou então houve um descuido ao escrever “primeiro octante”. Em qualquer caso, a alternativa disponível que bate com um cálculo correto é \,8\pi.

Resposta

(b) 8\pi

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