Ache o volume do sólido do primeiro octante, limitado pelo cilindro
e pelo plano
Escolha uma opção:
◯ a. 0
◯ b.
◯ C.
◯ d.
◯ e.
◯ a. 0
◯ b.
◯ C.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado pede: “Ache o volume do sólido do primeiro octante, limitado pelo cilindro
e pelo plano
.”
Informações dadas:
- A superfície dada por
pode ser reescrita como . - O plano é
. - O sólido está no primeiro octante, ou seja, tem
. - A pergunta é: calcular o volume do sólido determinado por essas condições.
Passo 2
Observação sobre interpretação (ambiguidade):
- Há duas interpretações razoáveis do enunciado:
- A região entre as duas superfícies (a “lente” entre
e ) restrita ao primeiro octante ( ). - A mesma região entre as duas superfícies, mas sem restringir a
ao primeiro quadrante (ou seja, o corpo inteiro simetricamente em todo -plano).
- A região entre as duas superfícies (a “lente” entre
Vou primeiro montar e resolver a integral seguindo literalmente “primeiro octante” (interpretação 1). Depois comento a interpretação 2 e a relação entre as respostas, porque isso afeta o resultado numérico e as alternativas da prova.
Método escolhido:
- Usar coordenadas cilíndricas
. Explico rapidamente por que e como usá-las: - Coordenadas cilíndricas são naturais quando as superfícies envolvem
. As relações são - O elemento de volume em cilíndricas é
. Esse fator é o jacobiano da mudança de variáveis; ele aparece porque um pequeno retângulo em tem área aproximada . - Em provas, sempre que há simetria circular em
, converta para cilíndricas — fica muito mais simples.
- Coordenadas cilíndricas são naturais quando as superfícies envolvem
Passo 3
Determinar os limites da região (interpretação 1: primeiro octante, região entre as superfícies onde
vai do plano até a superfície):
- A interseção entre
e ocorre quando . Logo - No primeiro octante temos
(porque e corresponde ao setor angular de a ). - Para cada
com e , a coordenada varia entre o plano (menor) e a superfície (maior): - Assim o volume é
Passo 4
Calcular a integral passo a passo:
- Integral em
: Aqui expliquei: a integral de em relação a é avaliada nos limites. - Agora integrar em
: Calcule os primitivos: Avaliando de a : - Finalmente integrar em
:
Comentário didático sobre o resultado desta interpretação:
- Portanto, se o enunciado for lido literalmente e tomarmos apenas o primeiro octante (
), o volume entre e é . - Atenção prática para a prova: sempre verifique a região de
. Primeiro octante → a . Todo o plano → a .
Passo 5
Análise das alternativas e da interpretação provável:
- A resposta que obtivemos para o primeiro octante é
, que não aparece entre as alternativas fornecidas. - Observe agora a interpretação 2 (região inteira, sem restringir
ao primeiro quadrante). Como a região entre as superfícies é circularmente simétrica em , o volume total em todo o espaço (para todos os quadrantes) é exatamente 4 vezes o volume no primeiro quadrante (porque há quatro quadrantes em ). - Então o volume para a região inteira (sem a restrição do primeiro octante) seria
- Procurando entre as alternativas, encontramos
como a letra (b). Isso sugere que a prova provavelmente esperava a interpretação sem restringir ao primeiro quadrante, ou então houve um descuido ao escrever “primeiro octante”. Em qualquer caso, a alternativa disponível que bate com um cálculo correto é .
Resposta
(b)