A expressão contém \sin n!, onde n! é um inteiro grande para n grande.
Não há hipótese extra; portanto trata-se do limite de uma sequência real.
Passo 2
Propriedade útil sobre a função seno (fato que vamos usar): para todo número real x vale
|\sin x|\le 1.
Explicando rápido: \sin x é a coordenada vertical de um ponto no círculo unitário, então seu valor absoluto nunca passa de 1. Esse é um fato básico e muito útil para controlar termos oscilantes como \sin n!.
Passo 3
Apliquemos a desigualdade do seno à expressão. Para todo n\ge 1,
Como ambos os limites das extremas são 0 quando n\to\infty, concluímos que a sequência central também tende a 0. Em outras palavras, o fator \sin n! é limitado em amplitude, enquanto o coeficiente \dfrac{n^{3}}{n^{5}+1} tende a zero rápido (\sim 1/n^{2}), forçando o produto a zero.
Passo 6
Resumo intuitivo e motivação prática para a prova: sempre que tiver um termo oscilante como \sin(\cdot) ou \cos(\cdot) multiplicado por uma fração cujo numerador é uma potência de grau menor que o do denominador, compare o valor absoluto com uma cota simples (aqui \le 1/n^{2}) e use o Teorema do Confronto. Isso evita ter que analisar a oscilação do seno e é uma técnica rápida e segura em prova.