1^{\underline{\boldsymbol{a}}} Questão: ( 1,0 ponto) Calcule \lim \frac{n^{3} \sin n!}{n^{5}+1}
R: 0

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}\sin n!}{n^{5}+1}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A variável é n e o limite é quando n\to\infty.
  • A expressão contém \sin n!, onde n! é um inteiro grande para n grande.
  • Não há hipótese extra; portanto trata-se do limite de uma sequência real.

Passo 2

Propriedade útil sobre a função seno (fato que vamos usar): para todo número real x vale
|\sin x|\le 1.
Explicando rápido: \sin x é a coordenada vertical de um ponto no círculo unitário, então seu valor absoluto nunca passa de 1. Esse é um fato básico e muito útil para controlar termos oscilantes como \sin n!.

Passo 3

Apliquemos a desigualdade do seno à expressão. Para todo n\ge 1,
\left|\frac{n^{3}\sin n!}{n^{5}+1}\right| \le \frac{n^{3}\,|\sin n!|}{n^{5}+1} \le \frac{n^{3}}{n^{5}+1}.
Aqui usei que |\sin n!|\le 1. Agora compare o denominador com n^{5}: para n\ge 1 tem-se n^{5}+1\ge n^{5}, portanto
\frac{n^{3}}{n^{5}+1}\le \frac{n^{3}}{n^{5}}=\frac{1}{n^{2}}.
Assim obtemos a estimativa em cadeia
\left|\frac{n^{3}\sin n!}{n^{5}+1}\right|\le \frac{1}{n^{2}}.

Passo 4

Calcule o limite da cota superior \dfrac{1}{n^{2}}. É um limite clássico: quando n\to\infty o denominador n^{2} cresce sem limite, logo
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}=0.
Intuição: potências positivas de n tendem a infinito, então suas recíprocas tendem a zero.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem). Já temos, para todo n\ge 1,
-\frac{1}{n^{2}}\le \frac{n^{3}\sin n!}{n^{5}+1}\le \frac{1}{n^{2}}.
Como ambos os limites das extremas são 0 quando n\to\infty, concluímos que a sequência central também tende a 0. Em outras palavras, o fator \sin n! é limitado em amplitude, enquanto o coeficiente \dfrac{n^{3}}{n^{5}+1} tende a zero rápido ( \sim 1/n^{2}), forçando o produto a zero.

Passo 6

Resumo intuitivo e motivação prática para a prova: sempre que tiver um termo oscilante como \sin(\cdot) ou \cos(\cdot) multiplicado por uma fração cujo numerador é uma potência de grau menor que o do denominador, compare o valor absoluto com uma cota simples (aqui \le 1/n^{2}) e use o Teorema do Confronto. Isso evita ter que analisar a oscilação do seno e é uma técnica rápida e segura em prova.

Resposta

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