Seja X uma v.a. que representa o número de anomalias em região de um disco de uma turbina a gás de uma determinada aeronave. O artigo ''Methodology for Probabilistic Life Prediction of MultipleAnomaly Materials" (American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal, 2006: 787-793) propõe uma distribuição de Poisson para X. Suponha que \lambda=4.
Calcule P(X \leq 8).

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória X que conta o número de anomalias em uma região de um disco de turbina e diz que X segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=4. A pergunta é: calcule P(X\leq 8). As informações relevantes: \lambda=4 e a suposição de que X é Poisson.

Passo 2

Vamos lembrar a definição da distribuição de Poisson e sua função de probabilidade de massa (PMF). Para uma v.a. X com Poisson de parâmetro \lambda>0, a probabilidade de ela assumir o valor k (onde k é inteiro não negativo) é
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde k! (fatorial de k) significa k!=k\cdot(k-1)\cdots2\cdot1 e por convenção 0!=1. Aqui \lambda é a média e também a variância da Poisson; no nosso caso \lambda=4.

Passo 3

O que nos pedem é a probabilidade acumulada até 8. Portanto escrevemos a soma das probabilidades de k=0 até k=8:
P(X\leq 8)=\sum_{k=0}^{8} e^{-4}\frac{4^{k}}{k!}.
Isto é exato, mas vamos calcular numericamente termo a termo de forma que você consiga reproduzir na prova sem depender de funções já prontas.

Passo 4

Começamos calculando P(X=0), que é simples:
P(X=0)=e^{-4}\frac{4^{0}}{0!}=e^{-4}\cdot1= e^{-4}.
Numericamente, e^{-4}\approx 0,018315639. Vou usar uma relação recursiva para obter os outros termos de forma prática: se p_k=P(X=k), então
p_{k} = p_{k-1}\cdot\frac{4}{k}\quad\text{para }k\geq 1,
porque dividir \frac{4^{k}}{k!} por \frac{4^{k-1}}{(k-1)!} \frac{4}{k}. Isso evita recalcular potências e fatoriais do zero.

Passo 5

Calculamos os termos um a um usando a relação recursiva. Vou mostrar cada passo e o valor aproximado:
p_0 = e^{-4}\approx 0,018315639.
p_1 = p_0\cdot\frac{4}{1}\approx 0,018315639\cdot4=0,073262556.
p_2 = p_1\cdot\frac{4}{2}=p_1\cdot2\approx 0,073262556\cdot2=0,146525111.
p_3 = p_2\cdot\frac{4}{3}\approx 0,146525111\cdot\frac{4}{3}\approx 0,195366815.
p_4 = p_3\cdot\frac{4}{4}=p_3\cdot1\approx 0,195366815.
p_5 = p_4\cdot\frac{4}{5}\approx 0,195366815\cdot0,8=0,156293452.
p_6 = p_5\cdot\frac{4}{6}=p_5\cdot\frac{2}{3}\approx 0,156293452\cdot0,666666667=0,104195635.
p_7 = p_6\cdot\frac{4}{7}\approx 0,104195635\cdot0,571428571=0,059540363.
p_8 = p_7\cdot\frac{4}{8}=p_7\cdot0,5\approx 0,059540363\cdot0,5=0,029770182.
(Se quiser, em prova você pode escrever os produtos exatos \,p_k=p_{k-1}\frac{4}{k}\, e calcular com uma calculadora simple.)

Passo 6

Agora somamos os termos de k=0 até k=8:
\begin{aligned} P(X\leq 8)&=p_0+p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+p_6+p_7+p_8 \\\ &\approx 0,018315639+0,073262556+0,146525111+0,195366815\\\ &\quad+0,195366815+0,156293452+0,104195635+0,059540363+0,029770182. \end{aligned}
Somando cuidadosamente (term a term) obtemos
P(X\leq 8)\approx 0,978636566.

Passo 7

Interpretação rápida: com \lambda=4 a probabilidade de ter até 8 anomalias é muito alta, cerca de 97,86\%. Isso significa que observar 9 ou mais anomalias seria um evento relativamente raro (probabilidade complementar cerca de 1-0,978636566\approx 0,021363434, ou 2,14\%).

Resposta

P(X\leq 8)\approx 0,978636566

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