Seja
uma v.a. que representa o número de anomalias em região de um disco de uma turbina a gás de uma determinada aeronave. O artigo ''Methodology for Probabilistic Life Prediction of MultipleAnomaly Materials" (American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal, 2006: 787-793) propõe uma distribuição de Poisson para
. Suponha que
.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória
que conta o número de anomalias em uma região de um disco de turbina e diz que
segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. A pergunta é: calcule
. As informações relevantes:
e a suposição de que
é Poisson.
Passo 2
Vamos lembrar a definição da distribuição de Poisson e sua função de probabilidade de massa (PMF). Para uma v.a.
com Poisson de parâmetro
, a probabilidade de ela assumir o valor
(onde
é inteiro não negativo) é
onde
(fatorial de
) significa
e por convenção
. Aqui
é a média e também a variância da Poisson; no nosso caso
.
Passo 3
O que nos pedem é a probabilidade acumulada até
. Portanto escrevemos a soma das probabilidades de
até
:
Isto é exato, mas vamos calcular numericamente termo a termo de forma que você consiga reproduzir na prova sem depender de funções já prontas.
Passo 4
Começamos calculando
, que é simples:
Numericamente,
. Vou usar uma relação recursiva para obter os outros termos de forma prática: se
, então
porque dividir
por
dá
. Isso evita recalcular potências e fatoriais do zero.
Passo 5
Calculamos os termos um a um usando a relação recursiva. Vou mostrar cada passo e o valor aproximado:
(Se quiser, em prova você pode escrever os produtos exatos
e calcular com uma calculadora simple.)
Passo 6
Agora somamos os termos de
até
:
Somando cuidadosamente (term a term) obtemos
Passo 7
Interpretação rápida: com
a probabilidade de ter até 8 anomalias é muito alta, cerca de
. Isso significa que observar 9 ou mais anomalias seria um evento relativamente raro (probabilidade complementar cerca de
, ou
).