Seja X uma v.a. que representa o número de anomalias em região de um disco de uma turbina a gás de uma determinada aeronave. O artigo ''Methodology for Probabilistic Life Prediction of MultipleAnomaly Materials" (American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal, 2006: 787-793) propõe uma distribuição de Poisson para X. Suponha que \lambda=4.
Calcule P(X \leq 4) e P(X<4).

Passo 1

O enunciado dá que X segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=4. As perguntas são:
  1. Calcular P(X \leq 4).
  2. Calcular P(X<4).
Informações dadas que vamos usar: X\sim\text{Poisson}(\lambda) com \lambda=4.

Passo 2

A fórmula básica da distribuição de Poisson é a probabilidade de observar exatamente k ocorrências:
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Explicando cada símbolo:
  • \lambda é a média (e variância) esperada do número de eventos numa unidade (aqui \lambda=4).
  • k é o número inteiro de ocorrências ( k=0,1,2,\dots).
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. e\approx2,71828).
  • k! é o fatorial de k, ou seja k!=k\cdot(k-1)\cdot\ldots\cdot1 (por ex., 3!=6, 4!=24).
Essa fórmula dá as probabilidades pontuais; para probabilidades acumuladas somamos esses termos.

Passo 3

Escrevemos as probabilidades pedidas em termos da função massa de probabilidade:
P(X\leq4)=\sum_{k=0}^{4}P(X=k)=\sum_{k=0}^{4} e^{-4}\frac{4^{k}}{k!},
P(X<4)=P(X\leq3)=\sum_{k=0}^{3} e^{-4}\frac{4^{k}}{k!}.
Note que P(X<4)=P(X\le3) porque X é inteiro.

Passo 4

Vamos calcular os termos P(X=k) para k=0,1,2,3,4. Como todos têm o fator comum e^{-4}, é prático calcular os coeficientes e multiplicar por e^{-4}.
Cálculo dos coeficientes \frac{4^{k}}{k!}:
\frac{4^{0}}{0!}=1,
\frac{4^{1}}{1!}=4,
\frac{4^{2}}{2!}=\frac{16}{2}=8,
\frac{4^{3}}{3!}=\frac{64}{6}=\frac{32}{3}\approx10{,}6666667,
\frac{4^{4}}{4!}=\frac{256}{24}=\frac{32}{3}\approx10{,}6666667.
O valor de e^{-4} (usar tabela ou calculadora) é
e^{-4}\approx0{,}0183156389.
Agora os termos P(X=k)=e^{-4}\frac{4^{k}}{k!}:
P(X=0)=e^{-4}\cdot1\approx0{,}0183156389,
P(X=1)=e^{-4}\cdot4\approx0{,}0732625556,
P(X=2)=e^{-4}\cdot8\approx0{,}1465251111,
P(X=3)=e^{-4}\cdot\frac{32}{3}\approx0{,}1953668148,
P(X=4)=e^{-4}\cdot\frac{32}{3}\approx0{,}1953668148.

Passo 5

Somamos os termos para obter P(X\leq4). Primeiro somamos os coeficientes: 1+4+8+\tfrac{32}{3}+\tfrac{32}{3}=34\tfrac{1}{3}=34{,}3333333. Multiplicando por e^{-4}:
P(X\leq4)=e^{-4}\cdot34{,}3333333\approx0{,}6288369352\approx0{,}6288.

Passo 6

Para P(X<4)=P(X\leq3) somamos até k=3. A soma dos coeficientes até 3 é 1+4+8+\tfrac{32}{3}=23{,}6666667. Multiplicando por e^{-4}:
P(X\leq3)=e^{-4}\cdot23{,}6666667\approx0{,}4334701204\approx0{,}4335.
Ou alternativamente P(X\leq3)=P(X\leq4)-P(X=4)\approx0{,}6288369352-0{,}1953668148=0{,}4334701204.

Passo 7

Interpretação rápida: com média \lambda=4, a probabilidade de observar no máximo 4 anomalias é cerca de 62{,}9\%, e a probabilidade de observar menos que 4 anomalias é cerca de 43{,}35\%. Força aí — isso já te dá os números que vão cair na prova.

Resposta

P(X\leq4)=0,6288369352
P(X<4)=0,4334701204

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