Seja X uma v.a. que representa o número de anomalias em região de um disco de uma turbina a gás de uma determinada aeronave. O artigo ''Methodology for Probabilistic Life Prediction of MultipleAnomaly Materials" (American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal, 2006: 787-793) propõe uma distribuição de Poisson para X. Suponha que \lambda=4.
Calcule P(4 \leq X \leq 8).

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que a variável aleatória X assuma um valor entre 4 e 8 inclusive, quando X segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=4.
Informações dadas:
  • X tem distribuição de Poisson com \lambda=4.
  • Queremos calcular P(4 \leq X \leq 8).

Passo 2

Vamos recordar a fórmula da função massa de probabilidade (pmf) da Poisson. Se X \sim \text{Poisson}(\lambda), então, para k=0,1,2,\dots,
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Explicando: e^{-\lambda} é um fator comum que garante que as probabilidades somem 1; \lambda^{k} cresce com k e k! (fatorial de k) normaliza essa potência.

Passo 3

A probabilidade pedida é a soma das probabilidades individuais de k=4,5,6,7,8:
P(4\le X\le 8)=\sum_{k=4}^{8} P(X=k)=\sum_{k=4}^{8} e^{-4}\frac{4^{k}}{k!}.
Computar cada termo diretamente com fatoriais pode ser trabalhoso; vamos usar uma forma prática usando o termo P(X=0) e a relação recursiva entre probabilidades.

Passo 4

Calculemos primeiro P(X=0):
P(X=0)=e^{-4}.
Sabemos que e^{4}\approx54,5981500331, logo e^{-4}=1/e^{4}\approx0,0183156389. Então
P(X=0)\approx0,0183156389.

Passo 5

Há uma relação recursiva útil para Poisson:
P(X=k)=\frac{\lambda}{k}\,P(X=k-1).
Isto significa que, a partir de P(X=0), conseguimos P(X=1),P(X=2),\dots multiplicando por \lambda/k a cada passo. Vamos calcular em sequência com \lambda=4.
  • P(X=1)=\dfrac{4}{1}P(X=0)=4\cdot0,0183156389\approx0,0732625556.
  • P(X=2)=\dfrac{4}{2}P(X=1)=2\cdot0,0732625556\approx0,1465251111.
  • P(X=3)=\dfrac{4}{3}P(X=2)\approx\dfrac{4}{3}\cdot0,1465251111\approx0,1953668148.
  • P(X=4)=\dfrac{4}{4}P(X=3)=1\cdot0,1953668148\approx0,1953668148.
  • P(X=5)=\dfrac{4}{5}P(X=4)=0,8\cdot0,1953668148\approx0,1562934519.
  • P(X=6)=\dfrac{4}{6}P(X=5}\approx\dfrac{2}{3}\cdot0,1562934519\approx0,1041956346.
  • P(X=7)=\dfrac{4}{7}P(X=6)\approx0,5714285714\cdot0,1041956346\approx0,0595403626.
  • P(X=8)=\dfrac{4}{8}P(X=7)=0,5\cdot0,0595403626\approx0,0297701813.
Obs.: arredondei cada valor mantendo precisão suficiente para soma; todos os números acima estão entre parênteses em notação decimal com vírgula.

Passo 6

Agora somamos os termos de k=4 a k=8:
\begin{aligned} P(4\le X\le 8)&=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)\\\ &\approx0,1953668148+0,1562934519+0,1041956346+0,0595403626+0,0297701813. \end{aligned}
Vamos somar passo a passo:
  • 0,1953668148+0,1562934519=0,3516602667.
  • 0,3516602667+0,1041956346=0,4558559013.
  • 0,4558559013+0,0595403626=0,5153962639.
  • 0,5153962639+0,0297701813=0,5451664452.
Portanto a soma dá aproximadamente 0,5451664452.

Resposta

P(4\le X\le 8)\approx0,5451664452

Exercícios relacionados