Seja
uma v.a. que representa o número de anomalias em região de um disco de uma turbina a gás de uma determinada aeronave. O artigo ''Methodology for Probabilistic Life Prediction of MultipleAnomaly Materials" (American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal, 2006: 787-793) propõe uma distribuição de Poisson para
. Suponha que
.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que a variável aleatória
assuma um valor entre
e
inclusive, quando
segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
tem distribuição de Poisson com . - Queremos calcular
.
Passo 2
Vamos recordar a fórmula da função massa de probabilidade (pmf) da Poisson. Se
, então, para
,
Explicando:
é um fator comum que garante que as probabilidades somem 1;
cresce com
e
(fatorial de
) normaliza essa potência.
Passo 3
A probabilidade pedida é a soma das probabilidades individuais de
:
Computar cada termo diretamente com fatoriais pode ser trabalhoso; vamos usar uma forma prática usando o termo
e a relação recursiva entre probabilidades.
Passo 4
Calculemos primeiro
:
Sabemos que
, logo
. Então
Passo 5
Há uma relação recursiva útil para Poisson:
Isto significa que, a partir de
, conseguimos
multiplicando por
a cada passo. Vamos calcular em sequência com
.
Obs.: arredondei cada valor mantendo precisão suficiente para soma; todos os números acima estão entre parênteses em notação decimal com vírgula.
Passo 6
Agora somamos os termos de
a
:
Vamos somar passo a passo:
Portanto a soma dá aproximadamente
.