Seja a va T representando o tempo até a desintegração de uma partícula radioativa e suponha que sua função de distribuição é dada por F(t)=1-\mathrm{e}^{-\lambda t}, t>0.
a) Sabendo que \lambda é tal que P(T \geq 0,4)=0,135, obtenha t_{0} para o qual P\left(T \geq t_{0}\right)=0,90.
b) Calcule P(0,1 \leq T \leq 0,4).
c) Determine o valor esperado de T.

Passo 1

O enunciado descreve uma variável aleatória T com função de distribuição
F(t)=1-e^{-\lambda t},\quad t>0,
logo T é exponencial com parâmetro \lambda>0. Precisamos de três coisas:
a) encontrar \lambda de modo que P(T\ge0,4)=0,135 e, em seguida, achar t_{0} tal que P(T\ge t_{0})=0,90;
b) calcular P(0,1\le T\le0,4);
c) determinar E[T].

Passo 2

Para achar \lambda usamos
P(T\ge0,4)=1-F(0,4)=e^{-\lambda\cdot0,4}=0,135.
Tomando logaritmo natural,
-\lambda\cdot0,4=\ln(0,135) \quad\Longrightarrow\quad \lambda=-\frac{1}{0,4}\ln(0,135)\approx5{,}00.

Passo 3

Em seguida buscamos t_{0} tal que
P(T\ge t_{0})=e^{-\lambda t_{0}}=0,90.
Logo
t_{0}=-\frac{1}{\lambda}\ln(0,90) \approx-\frac{1}{5{,}00}\ln(0,90)\approx0{,}0211.

Passo 4

Para P(0,1\le T\le0,4) usamos
P(0,1\le T\le0,4)=F(0,4)-F(0,1) =\bigl(1-e^{-\lambda\cdot0,4}\bigr)-\bigl(1-e^{-\lambda\cdot0,1}\bigr) =e^{-\lambda\cdot0,1}-e^{-\lambda\cdot0,4}.
Substituindo \lambda\approx5{,}00,
P(0,1\le T\le0,4)\approx e^{-0,5}-e^{-2}=0{,}60653-0{,}13534=0{,}47119.

Passo 5

Para a esperança de uma exponencial vale
E[T]=\frac{1}{\lambda}\approx\frac{1}{5{,}00}=0{,}20.

Resposta

a) \lambda\approx5{,}00 e t_{0}\approx0{,}0211.
b) P(0,1\le T\le0,4)\approx0{,}4712.
c) E[T]\approx0{,}20.

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