Seja a reta r: \frac{x+1}{3}=\frac{y-2}{m}=\frac{z+3}{2} e o plano \pi: x-3 y+6 z+7=0. Determine o valor de " m " para que:
(a) A reta r seja paralela ao plano \pi;
(b) A reta r esteja contida no plano \pi;
(c) A reta r intercepte o plano \pi; e
(d) Considerando o valor de " m " determinado no item anterior, qual o ângulo entre a reta r e o plano \pi.

Passo 1

O enunciado dá a reta r em forma simétrica
\frac{x+1}{3}=\frac{y-2}{m}=\frac{z+3}{2}
e o plano \pi com equação
x-3y+6z+7=0.
As perguntas são:
(a) determinar m para que a reta r seja paralela ao plano \pi;
(b) determinar m para que a reta r esteja contida no plano \pi;
(c) determinar m para que a reta r intercepte o plano \pi;
(d) usando o(s) valor(es) de m do item anterior, achar o ângulo entre a reta r e o plano \pi.
Informações relevantes extraídas do enunciado que vamos usar:
  • Um ponto da reta (tomando o parâmetro comum igual a 0) é P_0(-1,2,-3). Vou usar isto explicitamente depois.
  • O vetor diretor da reta é \mathbf{v} = (3,m,2) (porque os denominadores da forma simétrica dão as componentes do diretor).
  • O vetor normal ao plano é \mathbf{n} = (1,-3,6) (coefs. da equação do plano).

Passo 2

Primeiro, formalizo a parametrização da reta e os vetores que vamos manipular (para ficar claro e podermos aplicar fórmulas).
A forma simétrica \dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y-2}{m}=\dfrac{z+3}{2}=t dá a parametrização
x(t)=-1+3t,\qquad y(t)=2+mt,\qquad z(t)=-3+2t.
Portanto:
  • ponto fixo da reta: P_0(-1,2,-3);
  • vetor diretor: \mathbf{v}=(3,m,2).
    Do plano \pi: x-3y+6z+7=0 extraímos o vetor normal
\mathbf{n}=(1,-3,6).
Vou usar produto escalar e norma desses vetores nas próximas etapas.

Passo 3

(a) Reta paralela ao plano: condição e cálculo.
Teoria curta (aula rápida): Uma reta é paralela a um plano quando seu vetor diretor é ortogonal ao vetor normal do plano. Em símbolos, a condição é
\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=0.
Calculo o produto escalar:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}= (3,m,2)\cdot(1,-3,6)=3\cdot1 + m\cdot(-3) + 2\cdot6.
Faço as contas passo a passo:
3 + (-3m) + 12 = 15 - 3m.
Impondo a condição 15-3m=0 obtenho
m=5.
Conclusão do item (a): m=5.

Passo 4

(b) Reta contida no plano: condição e verificação.
Teoria curta: Para a reta estar contida no plano é necessário e suficiente que (i) o vetor diretor da reta seja ortogonal ao normal do plano (isto é, a reta seja paralela ao plano) e (ii) qualquer ponto da reta satisfaça a equação do plano (bastando verificar um ponto da reta). Vou checar ambas.
Já vimos que a condição (i) dá m=5. Agora verifico (ii) para o ponto P_0(-1,2,-3) (esse ponto é independente de m, portanto se ele não satisfizer o plano então nenhum m deixará a reta inteira dentro do plano).
Substituo P_0 na equação do plano:
(-1) - 3\cdot 2 + 6\cdot(-3) + 7 = -1 -6 -18 +7.
Somando:
-1-6 = -7,\quad -7-18=-25,\quad -25+7 = -18.
O resultado é -18\neq 0. Logo P_0 não pertence ao plano. Para reforçar, faço a verificação geral da equação do plano substituindo a parametrização da reta:
x-3y+6z+7 = (-1+3t) -3(2+mt) +6(-3+2t) +7.
Agrupo termos constantes e em t:
constante: -1 -6 -18 +7 = -18.
coeficiente de t: 3 -3m +12 = 15 -3m.
Então a expressão é -18 + t(15-3m). Para que isso seja zero para todos os t (isto é, para que toda a reta esteja no plano) precisaríamos de -18=0 e 15-3m=0 simultaneamente. Como -18=0 é impossível, não existe m que torne a reta contida no plano.
Conclusão do item (b): não existe valor de m que faça r estar contida em \pi.

Passo 5

(c) Reta intercepta o plano: condição e encontrar o parâmetro de interseção.
Teoria curta: Se a reta não for paralela ao plano (isto é, se \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\neq 0), então ela corta o plano em exatamente um ponto. Já calculei \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=15-3m. Portanto a reta intercepta o plano quando
15-3m\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad m\neq 5.
Para obter o ponto de interseção (útil para checar) posso resolver -18 + t(15-3m)=0 (essa é a expressão da substituição da parametrização na equação do plano, da etapa anterior). Resolvendo para t:
t = \frac{18}{15-3m}.
Posso simplificar dividindo numerador e denominador por 3:
t = \frac{6}{5-m},
válido quando m\neq 5. Então para todo m\neq 5 existe um único t e, portanto, a reta intercepta o plano.
Conclusão do item (c): a reta intercepta o plano para todo m\neq 5.

Passo 6

(d) Ângulo entre a reta e o plano para m do item anterior.
Teoria (explicação didática): O ângulo \theta entre uma reta e um plano é o ângulo agudo formado pela reta com o plano medido de modo que \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. Uma relação muito útil é vinculá-lo ao ângulo \varphi entre o vetor diretor da reta \mathbf{v} e o vetor normal do plano \mathbf{n}. Esses ângulos satisfazem \theta = \tfrac{\pi}{2}-\varphi. Como a fórmula para o cosseno entre vetores é simples, usamos:
\cos\varphi = \frac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{n}\|}.
Como \theta=\tfrac{\pi}{2}-\varphi segue que \sin\theta=\cos\varphi. Portanto a fórmula prática para \theta é
\sin\theta = \frac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{n}\|}.
Agora substituo os valores: \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=15-3m (já calculado), \|\mathbf{v}\|=\sqrt{3^2+m^2+2^2}=\sqrt{13+m^2} e \|\mathbf{n}\|=\sqrt{1^2+(-3)^2+6^2}=\sqrt{46}. Assim
\sin\theta = \frac{|15-3m|}{\sqrt{13+m^2}\,\sqrt{46}}.
Fatorando 3 no numerador:
\sin\theta = \frac{3|5-m|}{\sqrt{13+m^2}\,\sqrt{46}}.
Finalmente o ângulo é
\theta = \arcsin\!\left(\frac{3|5-m|}{\sqrt{13+m^2}\,\sqrt{46}}\right),
válido para m\neq 5 (quando a reta intersecta o plano). Se m=5 a reta é paralela ao plano e então \theta=0 (a reta é paralela ao plano: ângulo entre reta e plano é 0).
Observação intuitiva: quanto maior |5-m| maior o produto escalar em módulo e maior o seno de \theta, ou seja a reta fica mais “inclinada” em relação ao plano; quando m\to5 o seno vai a zero e a reta tende a ficar paralela ao plano.

Resposta

(a) m=5
(b) não existe valor de m que torne r contida em \pi
(c) m\neq 5
(d) \theta=\arcsin\!\left(\dfrac{3|5-m|}{\sqrt{13+m^2}\,\sqrt{46}}\right) (para m\neq 5); se m=5 então \theta=0.

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