Seja a reta
e o plano
. Determine o valor de "
" para que:
(a) A reta
seja paralela ao plano
;
(b) A reta
esteja contida no plano
;
(c) A reta
intercepte o plano
; e
(d) Considerando o valor de "
" determinado no item anterior, qual o ângulo entre a reta
e o plano
.
(a) A reta
(b) A reta
(c) A reta
(d) Considerando o valor de "
Passo 1
O enunciado dá a reta
em forma simétrica
e o plano
com equação
As perguntas são:
(a) determinar para que a reta
seja paralela ao plano
;
(b) determinar para que a reta
esteja contida no plano
;
(c) determinar para que a reta
intercepte o plano
;
(d) usando o(s) valor(es) de do item anterior, achar o ângulo entre a reta
e o plano
.
(a) determinar
(b) determinar
(c) determinar
(d) usando o(s) valor(es) de
Informações relevantes extraídas do enunciado que vamos usar:
- Um ponto da reta (tomando o parâmetro comum igual a
) é . Vou usar isto explicitamente depois. - O vetor diretor da reta é
(porque os denominadores da forma simétrica dão as componentes do diretor). - O vetor normal ao plano é
(coefs. da equação do plano).
Passo 2
Primeiro, formalizo a parametrização da reta e os vetores que vamos manipular (para ficar claro e podermos aplicar fórmulas).
A forma simétrica dá a parametrização
A forma simétrica
Portanto:
- ponto fixo da reta:
; - vetor diretor:
.
Do planoextraímos o vetor normal
Vou usar produto escalar e norma desses vetores nas próximas etapas.
Passo 3
(a) Reta paralela ao plano: condição e cálculo.
Teoria curta (aula rápida): Uma reta é paralela a um plano quando seu vetor diretor é ortogonal ao vetor normal do plano. Em símbolos, a condição é
Teoria curta (aula rápida): Uma reta é paralela a um plano quando seu vetor diretor é ortogonal ao vetor normal do plano. Em símbolos, a condição é
Calculo o produto escalar:
Faço as contas passo a passo:
Impondo a condição
obtenho
Conclusão do item (a):
.
Passo 4
(b) Reta contida no plano: condição e verificação.
Teoria curta: Para a reta estar contida no plano é necessário e suficiente que (i) o vetor diretor da reta seja ortogonal ao normal do plano (isto é, a reta seja paralela ao plano) e (ii) qualquer ponto da reta satisfaça a equação do plano (bastando verificar um ponto da reta). Vou checar ambas.
Já vimos que a condição (i) dá . Agora verifico (ii) para o ponto
(esse ponto é independente de
, portanto se ele não satisfizer o plano então nenhum
deixará a reta inteira dentro do plano).
Substituo na equação do plano:
Teoria curta: Para a reta estar contida no plano é necessário e suficiente que (i) o vetor diretor da reta seja ortogonal ao normal do plano (isto é, a reta seja paralela ao plano) e (ii) qualquer ponto da reta satisfaça a equação do plano (bastando verificar um ponto da reta). Vou checar ambas.
Já vimos que a condição (i) dá
Substituo
Somando:
O resultado é
. Logo
não pertence ao plano. Para reforçar, faço a verificação geral da equação do plano substituindo a parametrização da reta:
Agrupo termos constantes e em
:
constante: .
coeficiente de :
.
Então a expressão é . Para que isso seja zero para todos os
(isto é, para que toda a reta esteja no plano) precisaríamos de
e
simultaneamente. Como
é impossível, não existe
que torne a reta contida no plano.
Conclusão do item (b): não existe valor de que faça
estar contida em
.
constante:
coeficiente de
Então a expressão é
Conclusão do item (b): não existe valor de
Passo 5
(c) Reta intercepta o plano: condição e encontrar o parâmetro de interseção.
Teoria curta: Se a reta não for paralela ao plano (isto é, se ), então ela corta o plano em exatamente um ponto. Já calculei
. Portanto a reta intercepta o plano quando
Teoria curta: Se a reta não for paralela ao plano (isto é, se
Para obter o ponto de interseção (útil para checar) posso resolver
(essa é a expressão da substituição da parametrização na equação do plano, da etapa anterior). Resolvendo para
:
Posso simplificar dividindo numerador e denominador por
:
válido quando
. Então para todo
existe um único
e, portanto, a reta intercepta o plano.
Conclusão do item (c): a reta intercepta o plano para todo .
Conclusão do item (c): a reta intercepta o plano para todo
Passo 6
(d) Ângulo entre a reta e o plano para
do item anterior.
Teoria (explicação didática): O ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo agudo formado pela reta com o plano medido de modo que
. Uma relação muito útil é vinculá-lo ao ângulo
entre o vetor diretor da reta
e o vetor normal do plano
. Esses ângulos satisfazem
. Como a fórmula para o cosseno entre vetores é simples, usamos:
Teoria (explicação didática): O ângulo
Como
segue que
. Portanto a fórmula prática para
é
Agora substituo os valores:
(já calculado),
e
. Assim
Fatorando
no numerador:
Finalmente o ângulo é
válido para
(quando a reta intersecta o plano). Se
a reta é paralela ao plano e então
(a reta é paralela ao plano: ângulo entre reta e plano é
).
Observação intuitiva: quanto maior maior o produto escalar em módulo e maior o seno de
, ou seja a reta fica mais “inclinada” em relação ao plano; quando
o seno vai a zero e a reta tende a ficar paralela ao plano.
Observação intuitiva: quanto maior
Resposta
(a)
(b) não existe valor de que torne
contida em
(c)
(d) (para
); se
então
.
(b) não existe valor de
(c)
(d)