Sejam as retas: r_{1}:(x, y, z)=(1,0,2)+(2 t, t, 3 t) e r_{2}: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{m}=\frac{z+1}{2 m}.
(a) Determine o valor de " m " para que as retas r_{1} e r_{2}, não sejam reversas;
(b) Para o valor de " m " do item a), determine a posição relativa dessas retas; e
(c) Se possível, determine a equação da reta r_{3} que passa pelo ponto de intersecção das retas r_{1} e r_{2}, e que seja multuamente perpendicular a ambas.
Passo 1
Vamos identificar exatamente o que o enunciado dá e o que pede, devagarinho e com clareza.
Dados:
A reta r_{1} é dada na forma paramétrica por
r_{1}:\\ (x,y,z)=(1,0,2)+(2t,t,3t).
A partir disso identificamos:
\text{ponto em } r_{1}:\\ P_{1}=(1,0,2),\qquad \text{vetor diretor } \vec{v}_{1}=(2,1,3).
Podemos introduzir um parâmetro s para escrever r_{2} em forma paramétrica (útil depois):
x=1+s,\qquad y=ms,\qquad z=-1+2ms.
Assim obtemos
\text{ponto em } r_{2}:\\ P_{2}=(1,0,-1)\quad(\text{quando }s=0),\qquad \text{vetor diretor } \vec{v}_{2}=(1,m,2m).
Perguntas (o que o enunciado pede):
(a) Determinar o(s) valor(es) de m para que as retas r_{1} e r_{2} não sejam reversas.
(b) Para o(s) m do item (a), determinar a posição relativa das retas (ou seja: paralelas, concorrentes/interseção, coincidentes, etc.).
(c) Se possível, determinar a equação da reta r_{3} que passa pelo ponto de interseção de r_{1} e r_{2} e que seja mutuamente perpendicular a ambas.
Passo 2
Entendendo o que significa “não serem reversas” e qual técnica usar.
Em geometria espacial, duas retas são “reversas” (ou “skew”) quando são não paralelas e não se intersectam — ou seja, estão em posições diferentes no espaço e não pertencem a um mesmo plano.
Portanto, para que duas retas NÃO sejam reversas elas devem ser coplanares, isto é, ou paralelas (vetores diretores proporcionais) ou concorrentes (interseção comum). Uma condição prática para coplanaridade de duas retas é que os vetores \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2} e o vetor de ligação entre pontos quaisquer das retas sejam coplanares.
Critério que vamos usar: o produto mistura (produto escalar do produto vetorial por um terceiro vetor), também chamado produto misto ou triplo, se for zero indica coplanaridade. Precisamos calcular(\vec{v}_1\times\vec{v}_2)\cdot(\overrightarrow{P_1P_2})=0.Vou explicar as peças: \vec{v}_1\times\vec{v}_2 é um vetor perpendicular a ambos \vec{v}_1 e \vec{v}_2; o produto escalar desse vetor pelo vetor \overrightarrow{P_1P_2} mede se \overrightarrow{P_1P_2} tem componente fora do plano gerado por \vec{v}_1,\vec{v}_2. Se for zero, então todos três são coplanares e, portanto, as retas são coplanares (ou seja, não reversas). Esta condição também engloba o caso de vetores diretores proporcionais (paralelas), porque então \vec{v}_1\times\vec{v}_2=\vec{0} e o produto misto é zero automaticamente.
Passo 3
Calcular os vetores necessários e montar o produto misto.
Já temos\vec{v}_1=(2,1,3),\qquad \vec{v}_2=(1,m,2m).
O vetor ligação entre os pontos dados P_{1} e P_{2} é\overrightarrow{P_1P_2}=P_{2}-P_{1}=(1,0,-1)-(1,0,2)=(0,0,-3).
Vamos calcular \vec{v}_1\times\vec{v}_2. Faço o determinante:\vec{v}_1\times\vec{v}_2= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 2 & 1 & 3\\[4pt] 1 & m & 2m \end{vmatrix}.Explicando: o componente em \mathbf{i} é 1\cdot 2m - 3\cdot m, em \mathbf{j} é negativo de 2\cdot 2m - 3\cdot 1, e em \mathbf{k} é 2\cdot m - 1\cdot 1. Calculando:\vec{v}_1\times\vec{v}_2 = (-m,\\\ -4m+3,\\\ 2m-1).]
Passo 4
Impor a condição de coplanaridade (produto misto zero) e resolver para m.
Para coplanaridade queremos esse valor igual a zero:-3(2m-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2m-1=0 \quad\Longrightarrow\quad m=\frac{1}{2}.
Observação importante (didática): também poderíamos ter buscado m que tornasse \vec{v}_1 e \vec{v}_2 proporcionais (caso paralelo). Nesse caso resolveríamos (1,m,2m)=k(2,1,3). Da primeira equação vem k=\tfrac12, da segunda m=k\cdot 1=\tfrac12 e da terceira 2m=k\cdot 3=\tfrac32; essas três exigências são incompatíveis (pois a terceira daria m=\tfrac34). Logo não existe m que torne as retas paralelas; portanto a única maneira de deixá-las não-reversas é torná-las coplanares intersectando, e isso ocorreu para m=\tfrac12.
Passo 5
Para [m=\tfrac12), determinar a posição relativa: verificar se intersectam e encontrar o ponto de interseção.
Com m=\tfrac12 temos \vec{v}_2=(1,\tfrac12,1) e as formas paramétricas:r_{1}:\begin{cases} x=1+2t,\\\ y=t,\\\ z=2+3t, \end{cases} \qquad r_{2}:\begin{cases} x=1+s,\\\ y=\tfrac12 s,\\\ z=-1+s. \end{cases}
Para encontrar interseção, igualamos coordenadas e resolvemos para t\] e \(s:1+2t=1+s \quad\Rightarrow\quad s=2t,
t=\tfrac12 s \quad\Rightarrow\quad t=\tfrac12(2t)=t\quad(\text{esta equação é satisfeita automaticamente}),çãé
2+3t=-1+s.
Substituindo s=2t na última equação:
2+3t=-1+2t \quad\Rightarrow\quad 2+3t+1-2t=0 \quad\Rightarrow\quad 3 - t =0 \quad\Rightarrow\quad t=-3.
Então t=-3 e s=2t=-6.
Ponto de interseção (substituir em r_{1} ou r_{2}):P = r_{1}(t=-3) =\bigl(1+2(-3),\\\ -3,\\\ 2+3(-3)\bigr)=(-5,\\\ -3,\\\ -7).
Conclusão do item (b): para m=\tfrac12 as retas são concorrentes (intersectam) no ponto P=(-5,-3,-7).
Passo 6
Encontrar a reta [r_{3}) que passa por P e é perpendicular a ambas r_{1} e r_{2} (se possível), explicando por que isso funciona.
Teoria rápida e intuitiva: se queremos uma reta que passe por P e seja perpendicular simultaneamente às duas retas r_{1} e r_{2}, então o vetor diretor \vec{u} de r_{3} deve ser ortogonal aos vetores diretores \vec{v}_1 e \vec{v}_2. Um vetor que é ortogonal a dois vetores não-colineares é justamente o produto vetorial \vec{v}_1\times\vec{v}_2 (único até escala). Portanto tomamos \vec{u}=\vec{v}_1\times\vec{v}_2.
Já calculamos \vec{v}_1\times\vec{v}_2 de forma geral; para m=\tfrac12 ele vale\vec{v}_1\times\vec{v}_2=(-m,\\\ -4m+3,\\\ 2m-1)\Big|_{m=\frac12} =\Bigl(-\tfrac12,\\\ 1,\\\ 0\Bigr).Podemos multiplicar por 2 para evitar fração e obter um vetor diretor mais simples:\vec{u}=(-1,2,0).Verificação rápida (didática): \vec{u}\cdot\vec{v}_1 = (-1)\cdot 2 + 2\cdot 1 + 0\cdot 3 = -2+2+0=0 e \vec{u}\cdot\vec{v}_2 = (-1)\cdot 1 + 2\cdot \tfrac12 + 0\cdot 1 = -1+1+0=0. OK, é perpendicular a ambos.
Assim a reta r_{3} passa por P=(-5,-3,-7) e tem vetor diretor \vec{u}=(-1,2,0). Escrevendo em forma paramétrica:r_{3}:\\ (x,y,z)=(-5,-3,-7)+\lambda(-1,2,0),ou coordenadas\begin{cases} x=-5-\lambda,\\[4pt] y=-3+2\lambda,\\[4pt] z=-7. \end{cases}Observação: como a terceira componente do vetor diretor é zero, r_{3}\] é uma reta paralela ao plano \(z=\text{constante}; aqui z é fixo em -7.
Esta reta r_{3} é única (até mudança de parâmetro ou multiplicação do vetor diretor por escalar), porque o vetor ortogonal a dois vetores não colineares é único até escala.]
Resposta
(a) m=\dfrac{1}{2}\n
(b) As retas são concorrentes (intersectam) no ponto (-5,-3,-7)\n
(c) Uma equação para r_{3} é