Sejam as retas: r_{1}:(x, y, z)=(1,0,2)+(2 t, t, 3 t) e r_{2}: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{m}=\frac{z+1}{2 m}.
(a) Determine o valor de " m " para que as retas r_{1} e r_{2}, não sejam reversas;
(b) Para o valor de " m " do item a), determine a posição relativa dessas retas; e
(c) Se possível, determine a equação da reta r_{3} que passa pelo ponto de intersecção das retas r_{1} e r_{2}, e que seja multuamente perpendicular a ambas.

Passo 1

Vamos identificar exatamente o que o enunciado dá e o que pede, devagarinho e com clareza.
  • Dados:
    • A reta r_{1} é dada na forma paramétrica por
    r_{1}:\\ (x,y,z)=(1,0,2)+(2t,t,3t).
    A partir disso identificamos:
    \text{ponto em } r_{1}:\\ P_{1}=(1,0,2),\qquad \text{vetor diretor } \vec{v}_{1}=(2,1,3).
    • A reta r_{2} é dada na forma simétrica
    r_{2}:\\ \frac{x-1}{1}=\frac{y}{m}=\frac{z+1}{2m}.
    Podemos introduzir um parâmetro s para escrever r_{2} em forma paramétrica (útil depois):
    x=1+s,\qquad y=ms,\qquad z=-1+2ms.
    Assim obtemos
    \text{ponto em } r_{2}:\\ P_{2}=(1,0,-1)\quad(\text{quando }s=0),\qquad \text{vetor diretor } \vec{v}_{2}=(1,m,2m).
  • Perguntas (o que o enunciado pede):
    (a) Determinar o(s) valor(es) de m para que as retas r_{1} e r_{2} não sejam reversas.
    (b) Para o(s) m do item (a), determinar a posição relativa das retas (ou seja: paralelas, concorrentes/interseção, coincidentes, etc.).
    (c) Se possível, determinar a equação da reta r_{3} que passa pelo ponto de interseção de r_{1} e r_{2} e que seja mutuamente perpendicular a ambas.

Passo 2

Entendendo o que significa “não serem reversas” e qual técnica usar.
  • Em geometria espacial, duas retas são “reversas” (ou “skew”) quando são não paralelas e não se intersectam — ou seja, estão em posições diferentes no espaço e não pertencem a um mesmo plano.
  • Portanto, para que duas retas NÃO sejam reversas elas devem ser coplanares, isto é, ou paralelas (vetores diretores proporcionais) ou concorrentes (interseção comum). Uma condição prática para coplanaridade de duas retas é que os vetores \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2} e o vetor de ligação entre pontos quaisquer das retas sejam coplanares.
  • Critério que vamos usar: o produto mistura (produto escalar do produto vetorial por um terceiro vetor), também chamado produto misto ou triplo, se for zero indica coplanaridade. Precisamos calcular (\vec{v}_1\times\vec{v}_2)\cdot(\overrightarrow{P_1P_2})=0.Vou explicar as peças: \vec{v}_1\times\vec{v}_2 é um vetor perpendicular a ambos \vec{v}_1 e \vec{v}_2; o produto escalar desse vetor pelo vetor \overrightarrow{P_1P_2} mede se \overrightarrow{P_1P_2} tem componente fora do plano gerado por \vec{v}_1,\vec{v}_2. Se for zero, então todos três são coplanares e, portanto, as retas são coplanares (ou seja, não reversas). Esta condição também engloba o caso de vetores diretores proporcionais (paralelas), porque então \vec{v}_1\times\vec{v}_2=\vec{0} e o produto misto é zero automaticamente.

Passo 3

Calcular os vetores necessários e montar o produto misto.
  • Já temos \vec{v}_1=(2,1,3),\qquad \vec{v}_2=(1,m,2m).
  • O vetor ligação entre os pontos dados P_{1} e P_{2} é \overrightarrow{P_1P_2}=P_{2}-P_{1}=(1,0,-1)-(1,0,2)=(0,0,-3).
  • Vamos calcular \vec{v}_1\times\vec{v}_2. Faço o determinante: \vec{v}_1\times\vec{v}_2= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 2 & 1 & 3\\[4pt] 1 & m & 2m \end{vmatrix}.Explicando: o componente em \mathbf{i} é 1\cdot 2m - 3\cdot m, em \mathbf{j} é negativo de 2\cdot 2m - 3\cdot 1, e em \mathbf{k} é 2\cdot m - 1\cdot 1. Calculando: \vec{v}_1\times\vec{v}_2 = (-m,\\\ -4m+3,\\\ 2m-1).]

Passo 4

Impor a condição de coplanaridade (produto misto zero) e resolver para m.
  • Produto misto: (\vec{v}_1\times\vec{v}_2)\cdot\overrightarrow{P_1P_2} =(-m,\\\ -4m+3,\\\ 2m-1)\cdot(0,0,-3).O produto escalar é 0\cdot(-m)+0\cdot(-4m+3)+(-3)\cdot(2m-1)=-3(2m-1).
  • Para coplanaridade queremos esse valor igual a zero: -3(2m-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2m-1=0 \quad\Longrightarrow\quad m=\frac{1}{2}.
  • Observação importante (didática): também poderíamos ter buscado m que tornasse \vec{v}_1 e \vec{v}_2 proporcionais (caso paralelo). Nesse caso resolveríamos (1,m,2m)=k(2,1,3). Da primeira equação vem k=\tfrac12, da segunda m=k\cdot 1=\tfrac12 e da terceira 2m=k\cdot 3=\tfrac32; essas três exigências são incompatíveis (pois a terceira daria m=\tfrac34). Logo não existe m que torne as retas paralelas; portanto a única maneira de deixá-las não-reversas é torná-las coplanares intersectando, e isso ocorreu para m=\tfrac12.

Passo 5

Para [m=\tfrac12), determinar a posição relativa: verificar se intersectam e encontrar o ponto de interseção.
  • Com m=\tfrac12 temos \vec{v}_2=(1,\tfrac12,1) e as formas paramétricas: r_{1}:\begin{cases} x=1+2t,\\\ y=t,\\\ z=2+3t, \end{cases} \qquad r_{2}:\begin{cases} x=1+s,\\\ y=\tfrac12 s,\\\ z=-1+s. \end{cases}
  • Para encontrar interseção, igualamos coordenadas e resolvemos para t\] e \(s: 1+2t=1+s \quad\Rightarrow\quad s=2t,
t=\tfrac12 s \quad\Rightarrow\quad t=\tfrac12(2t)=t\quad(\text{esta equação é satisfeita automaticamente}),çãé
2+3t=-1+s.
Substituindo s=2t na última equação:
2+3t=-1+2t \quad\Rightarrow\quad 2+3t+1-2t=0 \quad\Rightarrow\quad 3 - t =0 \quad\Rightarrow\quad t=-3.
Então t=-3 e s=2t=-6.
  • Ponto de interseção (substituir em r_{1} ou r_{2}): P = r_{1}(t=-3) =\bigl(1+2(-3),\\\ -3,\\\ 2+3(-3)\bigr)=(-5,\\\ -3,\\\ -7).
  • Conclusão do item (b): para m=\tfrac12 as retas são concorrentes (intersectam) no ponto P=(-5,-3,-7).

Passo 6

Encontrar a reta [r_{3}) que passa por P e é perpendicular a ambas r_{1} e r_{2} (se possível), explicando por que isso funciona.
  • Teoria rápida e intuitiva: se queremos uma reta que passe por P e seja perpendicular simultaneamente às duas retas r_{1} e r_{2}, então o vetor diretor \vec{u} de r_{3} deve ser ortogonal aos vetores diretores \vec{v}_1 e \vec{v}_2. Um vetor que é ortogonal a dois vetores não-colineares é justamente o produto vetorial \vec{v}_1\times\vec{v}_2 (único até escala). Portanto tomamos \vec{u}=\vec{v}_1\times\vec{v}_2.
  • Já calculamos \vec{v}_1\times\vec{v}_2 de forma geral; para m=\tfrac12 ele vale \vec{v}_1\times\vec{v}_2=(-m,\\\ -4m+3,\\\ 2m-1)\Big|_{m=\frac12} =\Bigl(-\tfrac12,\\\ 1,\\\ 0\Bigr).Podemos multiplicar por 2 para evitar fração e obter um vetor diretor mais simples: \vec{u}=(-1,2,0).Verificação rápida (didática): \vec{u}\cdot\vec{v}_1 = (-1)\cdot 2 + 2\cdot 1 + 0\cdot 3 = -2+2+0=0 e
    \vec{u}\cdot\vec{v}_2 = (-1)\cdot 1 + 2\cdot \tfrac12 + 0\cdot 1 = -1+1+0=0. OK, é perpendicular a ambos.
  • Assim a reta r_{3} passa por P=(-5,-3,-7) e tem vetor diretor \vec{u}=(-1,2,0). Escrevendo em forma paramétrica: r_{3}:\\ (x,y,z)=(-5,-3,-7)+\lambda(-1,2,0),ou coordenadas \begin{cases} x=-5-\lambda,\\[4pt] y=-3+2\lambda,\\[4pt] z=-7. \end{cases}Observação: como a terceira componente do vetor diretor é zero, r_{3}\] é uma reta paralela ao plano \(z=\text{constante}; aqui z é fixo em -7.
  • Esta reta r_{3} é única (até mudança de parâmetro ou multiplicação do vetor diretor por escalar), porque o vetor ortogonal a dois vetores não colineares é único até escala.]

Resposta

(a) m=\dfrac{1}{2}\n
(b) As retas são concorrentes (intersectam) no ponto (-5,-3,-7)\n
(c) Uma equação para r_{3} é
r_{3}:\\ (x,y,z)=(-5,-3,-7)+\lambda(-1,2,0),
ou em coordenadas:
x=-5-\lambda,\qquad y=-3+2\lambda,\qquad z=-7.

Exercícios relacionados