Classifique cada uma das sentenças abaixo como verdadeiras ou falsas. Use argumentos teóricos para justificar suas respostas.
Obs: Respostas sem justificativas não serão consideradas.
A reta r:\left\{\begin{array}{l}x=3 \\\ y=1\end{array}\right. é simultaneamente ortogonal as retas
s_{1}:\left\{\begin{array}{l} \frac{x-1}{3}=\frac{y-5}{2} \\\ z=4 \end{array} \quad \text { e } s_{2}:\left\{\begin{array}{l} z=3 x+1 \\\ y=-4 x+7 \end{array} .\right.\right.

Passo 1

O enunciado pergunta se a reta r\) é simultaneamente ortogonal às retas \(s_{1}\) e \(s_{2}\). Dados fornecidos: \[r:\begin{cases}x=3\y=1\end{cases}
s_{1}:\begin{cases}\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-5}{2}\\[4pt] z=4\end{cases}
s_{2}:\begin{cases}z=3x+1\\[4pt] y=-4x+7\end{cases}
A tarefa é classificar a afirmação “ r\] é simultaneamente ortogonal a \(s_{1} e s_{2}” como verdadeira ou falsa, e justificar teoricamente a resposta.]

Passo 2

Vamos lembrar a definição e o critério prático que vamos usar. Em geometria do espaço (3D) uma forma usual de dizer que duas retas são ortogonais (perpendiculares) é:
  • as retas se intersectam e
  • os vetores diretores das retas são ortogonais (produto escalar zero).
Obs.: existe também o conceito de “retas oblíquas perpendiculares” (retas skew perpendiculares) em que o segmento comum mais curto é perpendicular a ambas, mas o critério padrão em provas elementares é exigir interseção + vetores diretores perpendiculares. Aqui usaremos esse critério (interseção e vetores diretores perpendiculares). Para verificar perpendicularidade de vetores usamos o produto escalar: dois vetores u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3) são ortogonais se
u\cdot v = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3 = 0.

Passo 3

Colocando as retas em forma paramétrica e extraindo vetores diretores.
Para r: as equações x=3,\;y=1 significam que z é parâmetro livre. Tomando z=t obtemos a paramétrica
r:\; (x,y,z)=(3,1,t).
Logo o vetor diretor de r é
v_r=(0,0,1).
Para s_{1}: da igualdade \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-5}{2}=t obtemos
x=1+3t,\qquad y=5+2t,\qquad z=4.
Logo o vetor diretor de s_{1} é
v_{s_1}=(3,2,0).
Para s_{2}: tomando x=\lambda como parâmetro, temos
y=-4\lambda+7,\qquad z=3\lambda+1,
ou seja
s_{2}:\; (x,y,z)=(\lambda,\,-4\lambda+7,\,3\lambda+1).
Logo o vetor diretor de s_{2} é
v_{s_2}=(1,-4,3).

Passo 4

Verificamos a ortogonalidade dos vetores diretores usando produto escalar.
Calculemos v_r\cdot v_{s_1}:
v_r\cdot v_{s_1}=(0,0,1)\cdot(3,2,0)=0\cdot 3+0\cdot 2+1\cdot 0=0.
Portanto os vetores diretores de r e s_{1} são ortogonais.
Calculemos v_r\cdot v_{s_2}:
v_r\cdot v_{s_2}=(0,0,1)\cdot(1,-4,3)=0\cdot1+0\cdot(-4)+1\cdot3=3\neq 0.
Portanto os vetores diretores de r e s_{2} não são ortogonais.

Passo 5

Verificamos se as retas se intersectam (condição necessária segundo o critério adotado).
Para testar interseção entre r e s_{1} resolvemos o sistema igualando coordenadas. Em s_{1} temos x=1+3t e y=5+2t. Igualando a r (onde x=3,\;y=1) obtemos
1+3t=3\implies t=\tfrac{2}{3}.
Com esse t,
y=5+2\cdot\tfrac{2}{3}=5+\tfrac{4}{3}=\tfrac{19}{3}\neq 1.
Portanto não existe t que simultaneamente dê x=3 e y=1; logo r e s_{1} não se intersectam (são retas reversas / skew).
Para r e s_{2}: se houvesse interseção com x=3,\;y=1 então em s_{2} deveríamos ter y=-4x+7=-4\cdot 3+7=-5, que não é 1. Logo r e s_{2} também não se intersectam.
Resumo: r não intersecta s_{1} nem s_{2}.

Passo 6

Aplicando o critério: para que r seja ortogonal a uma reta é necessário, no critério usado em provas elementares, que as retas se intersectem e que seus vetores diretores sejam ortogonais.
  • Com s_{1}: os vetores diretores são ortogonais ( v_r\cdot v_{s_1}=0), mas as retas não se intersectam; portanto, segundo o critério padrão, r não é ortogonal a s_{1}.
  • Com s_{2}: as retas nem têm vetores diretores ortogonais ( v_r\cdot v_{s_2}=3\neq0) nem se intersectam; portanto r não é ortogonal a s_{2}.
Portanto a afirmação “ r é simultaneamente ortogonal às retas s_{1} e s_{2}” é falsa. (Observação: embora v_r seja ortogonal a v_{s_1}, a falta de interseção impede declarar as retas perpendiculares pelo critério usual.)

Resposta

Falsa.

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