Classifique cada uma das sentenças abaixo como verdadeiras ou falsas. Use argumentos teóricos para justificar suas respostas.
Obs: Respostas sem justificativas não serão consideradas.
A reta r:\left\{\begin{array}{l}x=3 \\\ y=1\end{array}\right. é simultaneamente ortogonal as retas
A tarefa é classificar a afirmação “r\] é simultaneamente ortogonal a \(s_{1} e s_{2}” como verdadeira ou falsa, e justificar teoricamente a resposta.]
Passo 2
Vamos lembrar a definição e o critério prático que vamos usar. Em geometria do espaço (3D) uma forma usual de dizer que duas retas são ortogonais (perpendiculares) é:
as retas se intersectam e
os vetores diretores das retas são ortogonais (produto escalar zero).
Obs.: existe também o conceito de “retas oblíquas perpendiculares” (retas skew perpendiculares) em que o segmento comum mais curto é perpendicular a ambas, mas o critério padrão em provas elementares é exigir interseção + vetores diretores perpendiculares. Aqui usaremos esse critério (interseção e vetores diretores perpendiculares). Para verificar perpendicularidade de vetores usamos o produto escalar: dois vetores u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3) são ortogonais se
u\cdot v = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3 = 0.
Passo 3
Colocando as retas em forma paramétrica e extraindo vetores diretores.
Para r: as equações x=3,\;y=1 significam que z é parâmetro livre. Tomando z=t obtemos a paramétrica
r:\; (x,y,z)=(3,1,t).
Logo o vetor diretor de r é
v_r=(0,0,1).
Para s_{1}: da igualdade \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-5}{2}=t obtemos
x=1+3t,\qquad y=5+2t,\qquad z=4.
Logo o vetor diretor de s_{1} é
v_{s_1}=(3,2,0).
Para s_{2}: tomando x=\lambda como parâmetro, temos
Portanto os vetores diretores de r e s_{2} não são ortogonais.
Passo 5
Verificamos se as retas se intersectam (condição necessária segundo o critério adotado).
Para testar interseção entre r e s_{1} resolvemos o sistema igualando coordenadas. Em s_{1} temos x=1+3t e y=5+2t. Igualando a r (onde x=3,\;y=1) obtemos
Portanto não existe t que simultaneamente dê x=3 e y=1; logo r e s_{1} não se intersectam (são retas reversas / skew).
Para r e s_{2}: se houvesse interseção com x=3,\;y=1 então em s_{2} deveríamos ter y=-4x+7=-4\cdot 3+7=-5, que não é 1. Logo r e s_{2} também não se intersectam.
Resumo: r não intersecta s_{1} nem s_{2}.
Passo 6
Aplicando o critério: para que r seja ortogonal a uma reta é necessário, no critério usado em provas elementares, que as retas se intersectem e que seus vetores diretores sejam ortogonais.
Com s_{1}: os vetores diretores são ortogonais (v_r\cdot v_{s_1}=0), mas as retas não se intersectam; portanto, segundo o critério padrão, r não é ortogonal a s_{1}.
Com s_{2}: as retas nem têm vetores diretores ortogonais (v_r\cdot v_{s_2}=3\neq0) nem se intersectam; portanto r não é ortogonal a s_{2}.
Portanto a afirmação “r é simultaneamente ortogonal às retas s_{1} e s_{2}” é falsa. (Observação: embora v_r seja ortogonal a v_{s_1}, a falta de interseção impede declarar as retas perpendiculares pelo critério usual.)