Ache o conjunto solução do sistema e determine a posição relativa entre eles.
lx+y+z=1 x+2 y+z=1 3 x+y+3 z=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
x+y+z=1, x+2y+z=1, 3x+y+3z=2
e depois interpretar geometricamente as três equações como planos em R^3, determinando sua posição relativa. Vamos usar eliminação de Gauss para ver se há solução e depois estudar as interseções par a par dos planos.

Passo 2

Subtraindo a primeira equação da segunda, temos
(x+2y+z)-(x+y+z)=1-1
o que dá
y=0
Substituindo ,y=0 na primeira equação x+y+z=1 obtemos
x+z=1
Agora, usando ,y=0 e x+z=1 na terceira equação 3x+y+3z=2, temos
3x+3z=2 Longrightarrow 3(x+z)=2 Longrightarrow 3cdot1=2,
pois x+z=1. Isso leva a 3=2, contradição. Logo não existe nenhuma solução comum aos três planos.

Passo 3

Embora não haja ponto comum aos três, podemos ver que os dois primeiros planos
Pi1:;x+y+z=1 e Pi2:;x+2y+z=1
intersectam-se numa reta. De y=0 e x+z=1 segue a parametrização
L12=(t,0,1-t)mid tin R

Passo 4

De modo análogo, a interseção de
vem de resolver
que leva a . Assim
E a interseção de com e , ou seja

Passo 5

Observamos que cada reta L12,L13,L23 tem vetor direção (1,0,-1). Logo são três retas paralelas em R^3. Isso explica por que não existe ponto comum aos três planos: cada par de planos intersecta-se numa reta, mas essas três retas são paralelas entre si e, portanto, não se cruzam todas num ponto único.

Resposta

O sistema não tem solução ( varnothing). Geometricamente, os três planos intersectam-se em pares formando três retas paralelas.

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