Seja
uma transformação linear.
(b) Se
e os vetores
geram
, prove que
geram $E.
(b) Se
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
e diz que
. Além disso temos vetores
tais que os vetores
geram
. A pergunta é: provar que os vetores
geram
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
é linear. -
. -
. - Preciso concluir que
.
Passo 2
Primeiro vou lembrar o que significa cada termo (explicando devagar, como se estivéssemos revisando antes da prova).
Definições básicas:
- Dizer que um conjunto de vetores
gera significa que todo vetor pode ser escrito como combinação linear destes vetores, isto é,
- A linearidade de
significa que, para quaisquer vetores e escalares ,
Vou usar essas duas ideias diretamente no raciocínio.
Passo 3
Mostro que
é sobrejetora (isto é,
). Tomemos um vetor arbitrário
. Como
gera
, existem escalares
tais que
Pela linearidade de
podemos agrupar:
Isso mostra que
é imagem por
de algum vetor de
, logo
. Como
era arbitrário, concluímos que
, ou seja,
é sobrejetora.
Passo 4
Agora uso uma propriedade fundamental (e usual em provas): se
é um espaço vetorial de dimensão finita e
é linear, então sobrejetividade implica injetividade. Vou explicar porquê com o teorema do posto-nulidade (rank-nullity), deixando claro o que cada termo significa.
Teorema do posto-nulidade (explicado): para uma transformação linear
com
,
Aqui
e
. Se
é sobrejetora, então
e portanto
. Substituindo no posto-nulidade obtemos
logo
, ou seja,
. Ter núcleo trivial significa que
é injetora. Portanto, sob a hipótese implícita (habitual) de que
,
é bijetora e, em particular, possui inversa linear
.
Observação curta para a prova (útil na prova): se no seu curso já foi assumido que todos os espaços considerados têm dimensão finita, este passo é totalmente válido; caso contrário, a afirmação pode falhar em dimensão infinita (mas presumimos aqui que o enunciado está num contexto de dimensão finita).
Passo 5
Agora uso a existência de
(que é linear) para transportar a geração por imagens para geração pelos vetores originais.
Sabemos que
Aplicando a transformação linear
aos dois lados (ou melhor: aplicando
ao conjunto gerador), e usando que
preserva combinações lineares, obtemos
Como
e
para todo
, isso vira
Explicando a lógica: aplicar uma bijeção linear a um conjunto gerador dá outro conjunto gerador; mais concretamente, a inversa transforma combinações lineares de
em combinações lineares dos
.
Passo 6
Concluímos a prova: a partir da hipótese de que
gera
, mostramos que
é sobrejetora; pela dimensão finita de
isso implica que
é bijetora e tem inversa linear; aplicando
ao gerador obtemos que
gera
. Portanto a afirmação pedida está provada.
Dica rápida para a prova na hora da prova: o argumento essencial é “imagens geram ⇒
é sobrejetora ⇒ em dimensão finita
invertível ⇒ aplicar
transforma
em
e preserva a geração”.