Seja A: E \rightarrow F uma transformação linear.
(b) Se F=E e os vetores A v_{1}, \ldots, A v_{m} geram E, prove que v_{1}, \ldots, v_{m} geram $E.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear A: E \to F e diz que F=E. Além disso temos vetores v_{1},\ldots,v_{m}\in E tais que os vetores A v_{1},\ldots,A v_{m} geram E. A pergunta é: provar que os vetores v_{1},\ldots,v_{m} geram E.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A é linear.
  • F=E.
  • \operatorname{span}\{A v_{1},\ldots,A v_{m}\}=E.
  • Preciso concluir que \operatorname{span}\{v_{1},\ldots,v_{m}\}=E.

Passo 2

Primeiro vou lembrar o que significa cada termo (explicando devagar, como se estivéssemos revisando antes da prova).
Definições básicas:
  • Dizer que um conjunto de vetores \{w_{1},\ldots,w_{k}\} gera E significa que todo vetor y\in E pode ser escrito como combinação linear destes vetores, isto é,
\operatorname{span}\{w_{1},\ldots,w_{k}\}=\{\,\alpha_{1}w_{1}+\cdots+\alpha_{k}w_{k}\mid \alpha_{i}\in\mathbb{K}\,\}=E.
  • A linearidade de A significa que, para quaisquer vetores u,v\in E e escalares \lambda,\mu,
A(\lambda u+\mu v)=\lambda A(u)+\mu A(v).
Vou usar essas duas ideias diretamente no raciocínio.

Passo 3

Mostro que A é sobrejetora (isto é, A(E)=E). Tomemos um vetor arbitrário y\in E. Como \{A v_{1},\ldots,A v_{m}\} gera E, existem escalares \alpha_{1},\ldots,\alpha_{m} tais que
y=\alpha_{1}A v_{1}+\cdots+\alpha_{m}A v_{m}.
Pela linearidade de A podemos agrupar:
y=A(\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{m}v_{m}).
Isso mostra que y é imagem por A de algum vetor de E, logo y\in A(E). Como y era arbitrário, concluímos que A(E)=E, ou seja, A é sobrejetora.

Passo 4

Agora uso uma propriedade fundamental (e usual em provas): se E é um espaço vetorial de dimensão finita e A:E\to E é linear, então sobrejetividade implica injetividade. Vou explicar porquê com o teorema do posto-nulidade (rank-nullity), deixando claro o que cada termo significa.
Teorema do posto-nulidade (explicado): para uma transformação linear A:E\to E com \dim E<\infty,
\dim(\ker A)+\dim(\operatorname{Im} A)=\dim E.
Aqui \ker A=\{x\in E\mid A x=0\} e \operatorname{Im} A=A(E). Se A é sobrejetora, então \operatorname{Im} A=E e portanto \dim(\operatorname{Im} A)=\dim E. Substituindo no posto-nulidade obtemos
\dim(\ker A)+\dim E=\dim E,
logo \dim(\ker A)=0, ou seja, \ker A=\{0\}. Ter núcleo trivial significa que A é injetora. Portanto, sob a hipótese implícita (habitual) de que \dim E<\infty, A é bijetora e, em particular, possui inversa linear A^{-1}:E\to E.
Observação curta para a prova (útil na prova): se no seu curso já foi assumido que todos os espaços considerados têm dimensão finita, este passo é totalmente válido; caso contrário, a afirmação pode falhar em dimensão infinita (mas presumimos aqui que o enunciado está num contexto de dimensão finita).

Passo 5

Agora uso a existência de A^{-1} (que é linear) para transportar a geração por imagens para geração pelos vetores originais.
Sabemos que
E=\operatorname{span}\{A v_{1},\ldots,A v_{m}\}.
Aplicando a transformação linear A^{-1} aos dois lados (ou melhor: aplicando A^{-1} ao conjunto gerador), e usando que A^{-1} preserva combinações lineares, obtemos
A^{-1}(E)=A^{-1}\big(\operatorname{span}\{A v_{1},\ldots,A v_{m}\}\big) =\operatorname{span}\{A^{-1}(A v_{1}),\ldots,A^{-1}(A v_{m})\}.
Como A^{-1}(E)=E e A^{-1}(A v_{i})=v_{i} para todo i, isso vira
E=\operatorname{span}\{v_{1},\ldots,v_{m}\}.
Explicando a lógica: aplicar uma bijeção linear a um conjunto gerador dá outro conjunto gerador; mais concretamente, a inversa transforma combinações lineares de A v_{i} em combinações lineares dos v_{i}.

Passo 6

Concluímos a prova: a partir da hipótese de que \{A v_{1},\ldots,A v_{m}\} gera E, mostramos que A é sobrejetora; pela dimensão finita de E isso implica que A é bijetora e tem inversa linear; aplicando A^{-1} ao gerador obtemos que \{v_{1},\ldots,v_{m}\} gera E. Portanto a afirmação pedida está provada.
Dica rápida para a prova na hora da prova: o argumento essencial é “imagens geram ⇒ A é sobrejetora ⇒ em dimensão finita A invertível ⇒ aplicar A^{-1} transforma \{A v_i\} em \{v_i\} e preserva a geração”.

Resposta

\;v_{1},\ldots,v_{m} geram E.

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