Seja u=(x, y, z, t) um vetor genérico do \mathbb{R}^{4}. Quais das aplicações definidas abaixo são operadores lineares do \mathbb{R}^{4} ?
(d) F(u)=(x, y, z, t)

Passo 1

O enunciado dá um vetor genérico u=(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 e define a aplicação
F(u)=(x,y,z,t).
A pergunta é: essa aplicação F é um operador linear de \mathbb{R}^4?
Informações relevantes fornecidas:
  • A função F recebe um vetor u=(x,y,z,t) e devolve o mesmo quádruplo (x,y,z,t).
  • Não há outras restrições no enunciado (domínio e contradomínio são \mathbb{R}^4).

Passo 2

O que significa ser operador linear — vamos aprender isso com calma.
Uma aplicação T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4 é linear se e somente se satisfaz duas propriedades para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^4 e qualquer escalar \lambda\in\mathbb{R}:
\text{(Aditividade)}\qquad T(u+v)=T(u)+T(v),
\text{(Homogeneidade)}\qquad T(\lambda u)=\lambda\,T(u).
Explicando cada parte:
  • u+v é a soma componente a componente; se u=(x,y,z,t) e v=(x',y',z',t'), então u+v=(x+x',y+y',z+z',t+t').
  • \lambda u é a multiplicação escalar componente a componente; \lambda u=(\lambda x,\lambda y,\lambda z,\lambda t).
    Para provar que F é linear, precisamos verificar essas duas propriedades para F.

Passo 3

Verificação da aditividade F(u+v)=F(u)+F(v).
Sejam u=(x,y,z,t) e v=(x',y',z',t'). Primeiro calculo u+v:
u+v=(x+x',\,y+y',\,z+z',\,t+t').
Aplicando F ao resultado (usando a definição de F que copia as componentes):
F(u+v)=\bigl(x+x',\,y+y',\,z+z',\,t+t'\bigr).
Agora calculo F(u) e F(v) separadamente:
F(u)=(x,y,z,t),\qquad F(v)=(x',y',z',t').
Somando F(u)+F(v) componente a componente:
F(u)+F(v)=(x+x',\,y+y',\,z+z',\,t+t').
Comparando, vemos que
F(u+v)=\bigl(x+x',\,y+y',\,z+z',\,t+t'\bigr)=F(u)+F(v).
Portanto a propriedade de aditividade está satisfeita.

Passo 4

Verificação da homogeneidade F(\lambda u)=\lambda F(u).
Seja \lambda\in\mathbb{R} e u=(x,y,z,t). Primeiro calcule \lambda u:
\lambda u=(\lambda x,\,\lambda y,\,\lambda z,\,\lambda t).
Aplicando F em \lambda u:
F(\lambda u)=(\lambda x,\,\lambda y,\,\lambda z,\,\lambda t).
Agora calcule \lambda F(u). Sabemos F(u)=(x,y,z,t), então
\lambda F(u)=(\lambda x,\,\lambda y,\,\lambda z,\,\lambda t).
Logo
F(\lambda u)= (\lambda x,\,\lambda y,\,\lambda z,\,\lambda t)=\lambda F(u).
A propriedade de homogeneidade também está satisfeita.

Passo 5

Conclusão e interpretação matricial.
Como tanto a aditividade quanto a homogeneidade são verdadeiras para todos u,v\in\mathbb{R}^4 e todo \lambda\in\mathbb{R}, a aplicação F é linear.
Uma forma compacta de ver isso é notar que F é a aplicação identidade; em forma matricial ela corresponde à multiplicação pelo matriz identidade I_4:
F(u)=I_4\,u,\qquad\text{onde}\qquad I_4=\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\[4pt] 0&1&0&0\\[4pt] 0&0&1&0\\[4pt] 0&0&0&1 \end{pmatrix}.
Multiplicação por I_4 preserva soma e multiplicação escalar, então confirma a linearidade.
Um exemplo numérico rápido para fixar: se u=(1,2,3,4) então F(u)=(1,2,3,4). Se \lambda=5 e v=(0,1,0,-1),
F(u+v)=F((1,3,3,3))=(1,3,3,3)=F(u)+F(v),
F(\lambda u)=F((5,10,15,20))=(5,10,15,20)=\lambda F(u).
Tudo consistente!]

Resposta

Sim. F é um operador linear — é o operador identidade em \mathbb{R}^4.

Exercícios relacionados