Seja u=(x, y, z, t) um vetor genérico do \mathbb{R}^{4}. Quais das aplicações definidas abaixo são operadores lineares do \mathbb{R}^{4} ?
(d) F(u)=(x, y, z, t)
Passo 1
O enunciado dá um vetor genérico u=(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 e define a aplicação
F(u)=(x,y,z,t).
A pergunta é: essa aplicação F é um operador linear de \mathbb{R}^4?
Informações relevantes fornecidas:
A função F recebe um vetor u=(x,y,z,t) e devolve o mesmo quádruplo (x,y,z,t).
Não há outras restrições no enunciado (domínio e contradomínio são \mathbb{R}^4).
Passo 2
O que significa ser operador linear — vamos aprender isso com calma.
Uma aplicação T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4 é linear se e somente se satisfaz duas propriedades para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^4 e qualquer escalar \lambda\in\mathbb{R}:
u+v é a soma componente a componente; se u=(x,y,z,t) e v=(x',y',z',t'), então u+v=(x+x',y+y',z+z',t+t').
\lambda u é a multiplicação escalar componente a componente; \lambda u=(\lambda x,\lambda y,\lambda z,\lambda t).
Para provar que F é linear, precisamos verificar essas duas propriedades para F.
Passo 3
Verificação da aditividade F(u+v)=F(u)+F(v).
Sejam u=(x,y,z,t) e v=(x',y',z',t'). Primeiro calculo u+v:
u+v=(x+x',\,y+y',\,z+z',\,t+t').
Aplicando F ao resultado (usando a definição de F que copia as componentes):
A propriedade de homogeneidade também está satisfeita.
Passo 5
Conclusão e interpretação matricial.
Como tanto a aditividade quanto a homogeneidade são verdadeiras para todos u,v\in\mathbb{R}^4 e todo \lambda\in\mathbb{R}, a aplicação F é linear.
Uma forma compacta de ver isso é notar que F é a aplicação identidade; em forma matricial ela corresponde à multiplicação pelo matriz identidade I_4:
Multiplicação por I_4 preserva soma e multiplicação escalar, então confirma a linearidade.
Um exemplo numérico rápido para fixar: se u=(1,2,3,4) então F(u)=(1,2,3,4). Se \lambda=5 e v=(0,1,0,-1),