(1) Seja s:\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} a função posição de um determinado corpo em movimento. Sabendo que sua velocidade no instante t é dada por v(t)=\operatorname{tg}(t), determine a função posição s, dado que s(0)=\pi.

Passo 1

O enunciado diz que a posição s(t) de um corpo satisfaz
s'(t)=v(t)=\tan(t)
no intervalo \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr), com condição inicial s(0)=\pi. Vamos usar antiderivação para encontrar s(t).

Passo 2

Como a velocidade é a derivada da posição, temos
s'(t)=\tan(t),
portanto
s(t)=\int \tan(t)\,dt + C.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \int \tan(t)\,dt, escrevemos \tan(t)=\frac{\sin(t)}{\cos(t)} e usamos a substituição
u=\cos(t),\quad du=-\sin(t)\,dt.
Então
\int \tan(t)\,dt =\int \frac{\sin(t)}{\cos(t)}\,dt =-\int \frac{1}{u}\,du =-\ln\lvert u\rvert + C =-\ln\lvert \cos(t)\rvert + C.
Como em \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr) temos \cos(t)>0, fica
s(t)=-\ln\bigl(\cos(t)\bigr)+C.

Passo 4

Usamos s(0)=\pi. Como \cos(0)=1, segue
\pi = s(0) = -\ln(1) + C = 0 + C,
logo C=\pi. Portanto
s(t)=\pi - \ln\bigl(\cos(t)\bigr).

Resposta

s(t)=\pi - \ln\bigl(\cos(t)\bigr).

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