Para que valores de x se tem
\left|\begin{array}{lll} 2 & 2 & 2 \\ 2 & x & 2 \\ 2 & 2 & x \end{array}\right|=0 ?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função que associa a x o determinante da matriz
A(x)=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\[6pt] 2 & x & 2 \\[6pt] 2 & 2 & x \end{pmatrix}
e o objetivo é encontrar todos os valores de x tais que \det(A(x))=0. Para resolver isso, vamos usar operações de linha para simplificar o cálculo do determinante.]

Passo 2

Aplicando operações elementares (que não alteram o valor do determinante), subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira:
\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\[3pt] 2 & x & 2 \\[3pt] 2 & 2 & x \end{pmatrix} \;\xrightarrow{\substack{L_2\leftarrow L_2-L_1\\[2pt]L_3\leftarrow L_3-L_1}}\; \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\[3pt] 0 & x-2 & 0 \\[3pt] 0 & 0 & x-2 \end{pmatrix}.
Como o resultado é uma matriz triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
\det(A(x)) \;=\; 2 \;\cdot\;(x-2)\;\cdot\;(x-2) \;=\; 2\,(x-2)^2.]

Passo 3

Para que \det(A(x))=0 basta resolver
2\,(x-2)^2 = 0
o que implica
(x-2)^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 2.

Resposta

x=2

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