Seja S=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} um conjunto de vetores em um espaço vetorial V. Se W é um subespaço de V e S \subset W, conclua que [S] \subset W.

Passo 1

O enunciado diz que temos um conjunto de vetores S=\{v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\} em um espaço vetorial V, e que W é um subespaço de V tal que S\subset W. O objetivo é mostrar que o subespaço gerado por S, denotado por [S], também está contido em W. Vamos usar as definições de gerador (span) e a propriedade de fechamento de subespaços.

Passo 2

Pela definição, o subespaço gerado por S é
[S] = \Bigl\{\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\,v_{i}\;\Bigm|\;\alpha_{i}\in\mathbb{K}\Bigr\}.

Passo 3

Como S\subset W, cada v_{i} está em W. E por ser subespaço, W é fechado sob combinação linear, isto é:
  • se v_{i}\in W e \alpha_{i}\in\mathbb{K}, então \alpha_{i}v_{i}\in W;
  • se dois vetores estão em W, sua soma também está em W.

Passo 4

Tomemos um vetor arbitrário x\in [S]. Então
x=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\,v_{i}.
Cada termo \alpha_{i}v_{i} pertence a W e, pelo fechamento de W, a soma \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i} também pertence a W. Logo x\in W. Como x foi um elemento qualquer de [S], concluímos que
[S]\subset W.

Resposta

[S]\subset W.

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