Seja S a parte do cilindro x^2+y^2=4, com 0 <= z <= 5, delimitada pelos semiplanos y=x e y=2 x, com x >= 0.
Obtenha uma parametrização de S.

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a parte lateral do cilindro x^2 + y^2 = 4, com 0 <= z <= 5, limitada pelos semiplanos y = x e y = 2x e ainda sujeita a x >= 0. Vamos usar coordenadas cilíndricas para resolver.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, pontos no cilindro de raio 2 são descritos por x = 2costheta, y = 2sintheta e z = z. Assim, podemos usar theta e z como parâmetros.

Passo 3

Para encontrar os limites de theta, note que o semiplano y = x (com x >= 0) corresponde a tantheta = 1, ou seja theta = pi/4. Já y = 2x implica tantheta = 2, logo theta = arctan(2). O parâmetro z varia de 0 a 5.

Passo 4

Portanto, a parametrização é dada por:

Resposta

r(theta, z) = l(2costheta,;2sintheta,;zr), thetain[pi/4,,arctan(2)],;zin[0,5]

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