Calcule
, onde
, sendo
a superfície abaixo:
pontos)
é o triângulo de vértices
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A função vetorial é
. Ou seja, em coordenadas cartesianas
- A superfície
é o triângulo com vértices , e . Esse triângulo está contido no plano . - O que se pede é calcular a integral de fluxo
onde
é o vetor normal unitário à superfície.
Observação: o enunciado não especifica a orientação do normal. Vou escolher a orientação usual “para cima” (normal com componente
positiva), mas vou mostrar que o valor final não depende dessa escolha neste caso.
Passo 2
Entender a geometria: o triângulo está no plano
. Qual é a direção normal a esse plano?
- O plano
tem vetor normal (não unitário) na direção do eixo , isto é ou . - O vetor normal unitário com componente
positiva é
(Se alguém escolhesse a orientação para baixo, teria
.)
Passo 3
Calcular o produto escalar
.
- Escrevendo
e :
- O produto escalar componente a componente é
Portanto o integrando
é identicamente zero em todo o triângulo.
Nota didática curta: o produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos de componentes correspondentes; como
tem apenas componente
(primeira) e
tem apenas componente
(terceira), não há componente em comum não nula, logo o produto é zero.
Passo 4
Concluir a integral a partir do integrando nulo.
- Como
para todo , a integral de superfície do fluxo é
Passo 5
(Método alternativo — parametração, para ver outra forma de raciocinar)
- Parametrizo o triângulo por
- Então
, e o produto vetorial é
- A fórmula da integral de fluxo na parametrização dá
- Mas
e
- Integrando zero sobre
novamente dá . Isso confirma o resultado anterior.