Calcule \int_{S} F(x) \cdot n(x) d s, onde F(x)=\frac{1}{2} x_{1}^{2} i, sendo S a superfície abaixo:
(4 b)(0,5 pontos) S é o triângulo de vértices (0,0,0),(6,0,0),(0,3,0).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A função vetorial é F(x)=\frac{1}{2}x_{1}^{2}\,i. Ou seja, em coordenadas cartesianas
F(x)=\left(\frac{1}{2}x_{1}^{2},\,0,\,0\right).
  • A superfície S é o triângulo com vértices (0,0,0), (6,0,0) e (0,3,0). Esse triângulo está contido no plano z=0.
  • O que se pede é calcular a integral de fluxo
\int_{S} F(x)\cdot n(x)\,ds,
onde n(x) é o vetor normal unitário à superfície.
Observação: o enunciado não especifica a orientação do normal. Vou escolher a orientação usual “para cima” (normal com componente z positiva), mas vou mostrar que o valor final não depende dessa escolha neste caso.

Passo 2

Entender a geometria: o triângulo está no plano z=0. Qual é a direção normal a esse plano?
  • O plano z=0 tem vetor normal (não unitário) na direção do eixo z, isto é (0,0,1) ou (0,0,-1).
  • O vetor normal unitário com componente z positiva é
n(x)=(0,0,1).
(Se alguém escolhesse a orientação para baixo, teria n(x)=(0,0,-1).)

Passo 3

Calcular o produto escalar F\cdot n.
  • Escrevendo F e n:
F(x)=\left(\frac{1}{2}x_{1}^{2},\,0,\,0\right),\qquad n(x)=(0,0,1).
  • O produto escalar componente a componente é
F(x)\cdot n(x)=\frac{1}{2}x_{1}^{2}\cdot 0 + 0\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0.
Portanto o integrando F\cdot n é identicamente zero em todo o triângulo.
Nota didática curta: o produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos de componentes correspondentes; como F tem apenas componente x (primeira) e n tem apenas componente z (terceira), não há componente em comum não nula, logo o produto é zero.

Passo 4

Concluir a integral a partir do integrando nulo.
  • Como F(x)\cdot n(x)=0 para todo x\in S, a integral de superfície do fluxo é
\int_{S} F(x)\cdot n(x)\,ds = \int_{S} 0\,ds = 0.

Passo 5

(Método alternativo — parametração, para ver outra forma de raciocinar)
  • Parametrizo o triângulo por
r(u,v)=(6u,\,3v,\,0),\qquad (u,v)\in D=\{(u,v)\mid u\ge 0,\\ v\ge 0,\\ u+v\le 1\}.
  • Então r_u=(6,0,0), r_v=(0,3,0) e o produto vetorial é
r_u\times r_v=(0,0,18).
  • A fórmula da integral de fluxo na parametrização dá
\iint_{D} F(r(u,v))\cdot\big(r_u\times r_v\big)\,du\,dv.
  • Mas F(r(u,v))=(\tfrac{1}{2}(6u)^{2},0,0)=(18u^{2},0,0) e
F(r(u,v))\cdot\big(r_u\times r_v\big)= (18u^{2},0,0)\cdot(0,0,18)=0.
  • Integrando zero sobre D novamente dá 0. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

0

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