Usando o Algoritmo da Divisāo, mostre que:
o quadrado de todo inteiro é da forma 3 k ou 3 k+1;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o quadrado de todo inteiro tem uma das duas formas: 3k ou 3k+1, onde k é um inteiro.
Informações dadas: um inteiro arbitrário (chamá‑lo‑ei de n). O enunciado exige que se use o Algoritmo da Divisão (ou Divisão Euclidiana).

Passo 2

Explicando o Algoritmo da Divisão (passo a passo, do jeitinho que dá para usar numa prova):
  • O Algoritmo da Divisão diz que, para qualquer inteiro n e qualquer inteiro positivo divisor (aqui o divisor é 3), existem inteiros únicos q (quociente) e r (resto) tais que
n = 3q + r
e o resto satisfaz
0 \le r < 3.
  • Ou seja, o resto r só pode ser 0, 1 ou 2. Essas são as três possibilidades que precisamos analisar. Vou explicar o que cada símbolo significa: n é o inteiro dado, 3 é o divisor fixo, q é o quociente inteiro (pode ser positivo, negativo ou zero) e r é o resto inteiro com as restrições acima.

Passo 3

Agora elevamos ambos os lados da igualdade n = 3q + r ao quadrado:
n^2 = (3q + r)^2.
Vamos tratar as três possibilidades de r separadamente, porque elas cobrem todos os inteiros n.

Passo 4

Caso r = 0. Então n = 3q e
n^2 = (3q)^2 = 9q^2 = 3\bigl(3q^2\bigr).
Aqui 3q^2 é um inteiro, chame‑o de k. Logo n^2 = 3k. Conclusão para esse caso: n^2 é da forma 3k.

Passo 5

Caso r = 1. Então n = 3q+1 e
n^2 = (3q+1)^2 = 9q^2 + 6q + 1.
Agrupando os termos múltiplos de 3,
9q^2 + 6q + 1 = 3\bigl(3q^2 + 2q\bigr) + 1.
Como 3q^2+2q é um inteiro, chamamos esse inteiro de k. Assim n^2 = 3k + 1. Conclusão para esse caso: n^2 é da forma 3k+1.

Passo 6

Caso r = 2. Então n = 3q+2 e
n^2 = (3q+2)^2 = 9q^2 + 12q + 4.
Escrevendo 4 = 3 + 1 para separar a parte múltipla de 3,
9q^2 + 12q + 4 = 9q^2 + 12q + 3 + 1 = 3\bigl(3q^2 + 4q + 1\bigr) + 1.
Novamente 3q^2 + 4q + 1 é um inteiro; chamando‑o de k obtemos n^2 = 3k + 1. Conclusão para esse caso: n^2 é da forma 3k+1.

Passo 7

Juntando os três casos: se o resto r foi 0 então n^2 é da forma 3k; se r foi 1 ou 2 então n^2 é da forma 3k+1. Como todo inteiro n aparece em exatamente um desses três casos pela Divisão Euclidiana, concluímos que o quadrado de qualquer inteiro é sempre da forma 3k ou 3k+1.

Passo 8

Para fixar a ideia com exemplos rápidos:
  • n=3: n^2=9=3\cdot 3 (forma 3k).
  • n=4: n^2=16=3\cdot 5 + 1 (forma 3k+1).
  • n=5: n^2=25=3\cdot 8 + 1 (forma 3k+1).
Observação útil para prova: isso também significa que nenhum quadrado é congruente a 2 módulo 3 (ou seja, não existe inteiro com quadrado da forma 3k+2) — o porquê já está claro pelos casos acima.

Resposta

Para todo inteiro n existe inteiro k tal que n^2 = 3k ou n^2 = 3k+1.

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