Usando o Algoritmo da Divisāo, mostre que:
o quadrado de todo inteiro é da forma
ou
;
o quadrado de todo inteiro é da forma
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o quadrado de todo inteiro tem uma das duas formas:
ou
, onde
é um inteiro.
Informações dadas: um inteiro arbitrário (chamá‑lo‑ei de ). O enunciado exige que se use o Algoritmo da Divisão (ou Divisão Euclidiana).
Informações dadas: um inteiro arbitrário (chamá‑lo‑ei de
Passo 2
Explicando o Algoritmo da Divisão (passo a passo, do jeitinho que dá para usar numa prova):
- O Algoritmo da Divisão diz que, para qualquer inteiro
e qualquer inteiro positivo divisor (aqui o divisor é ), existem inteiros únicos (quociente) e (resto) tais que
e o resto satisfaz
- Ou seja, o resto
só pode ser , ou . Essas são as três possibilidades que precisamos analisar. Vou explicar o que cada símbolo significa: é o inteiro dado, é o divisor fixo, é o quociente inteiro (pode ser positivo, negativo ou zero) e é o resto inteiro com as restrições acima.
Passo 3
Agora elevamos ambos os lados da igualdade
ao quadrado:
Vamos tratar as três possibilidades de
separadamente, porque elas cobrem todos os inteiros
.
Passo 4
Caso
. Então
e
Aqui
é um inteiro, chame‑o de
. Logo
. Conclusão para esse caso:
é da forma
.
Passo 5
Caso
. Então
e
Agrupando os termos múltiplos de
,
Como
é um inteiro, chamamos esse inteiro de
. Assim
. Conclusão para esse caso:
é da forma
.
Passo 6
Caso
. Então
e
Escrevendo
para separar a parte múltipla de
,
Novamente
é um inteiro; chamando‑o de
obtemos
. Conclusão para esse caso:
é da forma
.
Passo 7
Juntando os três casos: se o resto
foi
então
é da forma
; se
foi
ou
então
é da forma
. Como todo inteiro
aparece em exatamente um desses três casos pela Divisão Euclidiana, concluímos que o quadrado de qualquer inteiro é sempre da forma
ou
.
Passo 8
Para fixar a ideia com exemplos rápidos:
-
: (forma ). -
: (forma ). -
: (forma ).
Observação útil para prova: isso também significa que nenhum quadrado é congruente a
módulo
(ou seja, não existe inteiro com quadrado da forma
) — o porquê já está claro pelos casos acima.
Resposta
Para todo inteiro
existe inteiro
tal que
ou
.