Usando o Algoritmo da Divisāo, mostre que:
todo inteiro ímpar é da forma 4 k+1 ou 4 k+3;

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: “inteiro ímpar” — ou seja, um número inteiro que não é divisível por 2.
  • Pede-se: mostrar que todo inteiro ímpar pode ser escrito como 4k+1 ou como 4k+3, para algum inteiro k.
Informações relevantes que usaremos (sem começar a resolver ainda):
  • o Algoritmo da Divisão para divisor 4;
  • a definição de par e ímpar (par = múltiplo de 2; ímpar = múltiplo de 2 mais 1).

Passo 2

Explicando o Algoritmo da Divisão (aplicado ao divisor 4):
O Algoritmo da Divisão diz que, para qualquer inteiro n e qualquer inteiro positivo divisor d, existem inteiros únicos q (quociente) e r (resto) tais que
n = dq + r
com
0 \le r \le d-1.
Aqui vamos aplicar isso com d=4. Assim, para qualquer inteiro n existem inteiros q e r tais que
n = 4q + r \qquad\text{com}\qquad 0 \le r \le 3.
Interpretação: dividir n por 4 dá resto r que só pode ser 0,1,2 ou 3.

Passo 3

Explicando paridade (o que é par e ímpar):
  • Um inteiro m é par se e só se existe inteiro t tal que m = 2t.
  • Um inteiro m é ímpar se e só se existe inteiro t tal que m = 2t + 1.
Vou usar essas formas para reconhecer quando uma expressão é par ou ímpar.

Passo 4

Aplicando o Algoritmo da Divisão e analisando os possíveis restos:
Pela etapa anterior, qualquer inteiro n pode ser escrito como
n = 4q + r,
com r \in \{0,1,2,3\}.
Vamos estudar cada caso e ver se n é par ou ímpar.
  • Caso r=0: n = 4q = 2(2q),
que é múltiplo de 2. Logo n é par.
  • Caso r=2: n = 4q + 2 = 2(2q+1),
novamente múltiplo de 2. Logo n é par.
  • Caso r=1: n = 4q + 1 = 2(2q) + 1,
ou seja, da forma 2t+1 com t=2q. Logo n é ímpar.
  • Caso r=3: n = 4q + 3 = 2(2q+1) + 1,
ou seja, da forma 2t+1 com t=2q+1. Logo n é ímpar.

Passo 5

Concluindo a implicação desejada:
Dos quatro restos possíveis 0,1,2,3, apenas os casos r=1 e r=3 produzem n ímpar. Portanto, se n é ímpar e n=4q+r com 0\le r\le3, necessariamente r é 1 ou 3. Assim existe inteiro q tal que
n = 4q + 1 \quad\text{ou}\quad n = 4q + 3.

Passo 6

Observação recíproca (útil para a prova e para entender bem):
Se um inteiro tem a forma 4k+1 ou 4k+3 com k\in\mathbb{Z}, então pelas contas acima essas expressões são iguais a 2(\text{algo})+1, logo são ímpares. Assim a descrição é exata: exatamente os inteiros ímpares são os da forma 4k+1 ou 4k+3.

Resposta

Todo inteiro ímpar é da forma 4k+1 ou 4k+3, com k\in\mathbb{Z}.

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