Usando o Algoritmo da Divisāo, mostre que:
todo inteiro ímpar é da forma
ou
;
todo inteiro ímpar é da forma
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: “inteiro ímpar” — ou seja, um número inteiro que não é divisível por
. - Pede-se: mostrar que todo inteiro ímpar pode ser escrito como
ou como , para algum inteiro .
Informações relevantes que usaremos (sem começar a resolver ainda):
- o Algoritmo da Divisão para divisor
; - a definição de par e ímpar (par = múltiplo de
; ímpar = múltiplo de mais ).
Passo 2
Explicando o Algoritmo da Divisão (aplicado ao divisor
):
O Algoritmo da Divisão diz que, para qualquer inteiro
e qualquer inteiro positivo divisor
, existem inteiros únicos
(quociente) e
(resto) tais que
com
Aqui vamos aplicar isso com
. Assim, para qualquer inteiro
existem inteiros
e
tais que
Interpretação: dividir
por
dá resto
que só pode ser
ou
.
Passo 3
Explicando paridade (o que é par e ímpar):
- Um inteiro
é par se e só se existe inteiro tal que . - Um inteiro
é ímpar se e só se existe inteiro tal que .
Vou usar essas formas para reconhecer quando uma expressão é par ou ímpar.
Passo 4
Aplicando o Algoritmo da Divisão e analisando os possíveis restos:
Pela etapa anterior, qualquer inteiro
pode ser escrito como
com
.
Vamos estudar cada caso e ver se
é par ou ímpar.
- Caso
:
que é múltiplo de
. Logo
é par.
- Caso
:
novamente múltiplo de
. Logo
é par.
- Caso
:
ou seja, da forma
com
. Logo
é ímpar.
- Caso
:
ou seja, da forma
com
. Logo
é ímpar.
Passo 5
Concluindo a implicação desejada:
Dos quatro restos possíveis
, apenas os casos
e
produzem
ímpar. Portanto, se
é ímpar e
com
, necessariamente
é
ou
. Assim existe inteiro
tal que
Passo 6
Observação recíproca (útil para a prova e para entender bem):
Se um inteiro tem a forma
ou
com
, então pelas contas acima essas expressões são iguais a
, logo são ímpares. Assim a descrição é exata: exatamente os inteiros ímpares são os da forma
ou
.
Resposta
Todo inteiro ímpar é da forma
ou
, com
.