Seja
um subespaço de
e
uma transformação linear. Mostre que o subconjunto
para algum
é um subespaço de
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um espaço vetorial
, um subespaço
e uma transformação linear
. Queremos mostrar que
é um subespaço de
. Para isso, usaremos a definição de subespaço: devemos verificar que (i)
, (ii)
é fechado sob soma e (iii)
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que
. Como
é subespaço de
, temos
. Pela linearidade de
,
Logo
.
Passo 3
Mostramos a clausura em soma. Sejam
. Então existem
tais que
e
. Como
é subespaço,
. Pela linearidade de
,
Isso mostra que
.
Passo 4
Mostramos a clausura em multiplicação por escalar. Seja
e seja
um escalar qualquer. Então existe
com
. Como
é subespaço,
. Pela linearidade de
,
Logo
.
Resposta
Portanto,
contém o vetor zero de
, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar. Assim
é de fato um subespaço de
.