(2,0) Encontre a derivada y^{\prime}, onde
y=\frac{e^{x} \cos x}{\sqrt{x}+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \frac{e^{x}\cos x}{\sqrt{x}+1}
Isso é um quociente, então vamos usar a regra do quociente, juntamente com a regra do produto e a regra da cadeia para derivar cada parte.

Passo 2

Identificamos numerador e denominador:
N(x) = e^{x}\cos x, \quad D(x)=\sqrt{x}+1 = x^{\tfrac12}+1.
Para derivar N usamos a regra do produto:
N'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)\cos x + e^{x}\,\frac{d}{dx}(\cos x) = e^{x}\cos x - e^{x}\sin x = e^{x}\bigl(\cos x - \sin x\bigr).

Passo 3

Derivamos D por regra da cadeia:
D'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{\tfrac12}\bigr) + 0 = \tfrac12\,x^{-\tfrac12} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

A regra do quociente diz
y' = \frac{N' D - N\,D'}{D^{2}}.
Substituindo N,N',D,D':
y' = \frac{e^{x}(\cos x - \sin x)\,(\sqrt{x}+1)\;-\;e^{x}\cos x\;\frac{1}{2\sqrt{x}}} {(\sqrt{x}+1)^{2}}.

Passo 5

Fatoramos e^{x} no numerador para simplificar:
y' = \frac{e^{x}\Bigl[(\cos x - \sin x)(\sqrt{x}+1)-\frac{\cos x}{2\sqrt{x}}\Bigr]} {(\sqrt{x}+1)^{2}}.

Resposta

y' = \frac{e^{x}\Bigl[(\cos x - \sin x)(\sqrt{x}+1)-\dfrac{\cos x}{2\sqrt{x}}\Bigr]}{(\sqrt{x}+1)^{2}}.

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