Seja
a superfície do hemisfério superior da esfera
. Calcule
Resposta:
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral de superfície
sobre o hemisfério superior
da esfera
.
O conteúdo aqui é integração de superfícies por meio de coordenadas esféricas, em que usamos a parametrização do hemisfério e o elemento de área correspondente.
O conteúdo aqui é integração de superfícies por meio de coordenadas esféricas, em que usamos a parametrização do hemisfério e o elemento de área correspondente.
Passo 2
Parametrizamos
em coordenadas esféricas com raio
:
onde
(altura positiva) e
.
O elemento de área da esfera de raio é
O elemento de área da esfera de raio
Passo 3
Na integral substituímos
e
. Assim,
Passo 4
Calculamos primeiro a integral em
:
Passo 5
Em seguida, integramos em
: