Seja o campo vetorial
\vec{F}(x, y, z)=(y z, x z, x y)
Calcule: \operatorname{div} \vec{F} e \operatorname{rot} \vec{F}. Respostas: \operatorname{div} \vec{F}=2 z \cdot \operatorname{rot} \vec{F}=(0,0,0)

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial em \mathbb{R}^3 \vec F(x,y,z) = (F_1,F_2,F_3) = (y z,\;x z,\;x y)
e pede para calcular o divergente e o rotacional de \vec F. Vamos usar as definições clássicas em coordenadas cartesianas:
\displaystyle \operatorname{div}\vec F = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}
\displaystyle \operatorname{rot}\vec F = \Bigl(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\;\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\;\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\Bigr)

Passo 2

Calcular \displaystyle \operatorname{div}\vec F.
Como F_1 = y z não depende de x, temos \frac{\partial F_1}{\partial x}=0.
Como F_2 = x z não depende de y, temos \frac{\partial F_2}{\partial y}=0.
Como F_3 = x y não depende de z, temos \frac{\partial F_3}{\partial z}=0.
Logo,
\operatorname{div}\vec F =0+0+0 =0.

Passo 3

Calcular \displaystyle \operatorname{rot}\vec F.
  1. Componente x: \displaystyle \frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z} =\frac{\partial(xy)}{\partial y}-\frac{\partial(xz)}{\partial z} =x - x = 0.
  2. Componente y: \displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x} =\frac{\partial(yz)}{\partial z}-\frac{\partial(xy)}{\partial x} =y - y = 0.
  3. Componente z: \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} =\frac{\partial(xz)}{\partial x}-\frac{\partial(yz)}{\partial y} =z - z = 0.
    Portanto,
\operatorname{rot}\vec F = (0,0,0).

Resposta

\operatorname{div}\vec F = 0 \operatorname{rot}\vec F = (0,0,0)

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