Seja
o hemisfério superior da esfera
, orientado para fora. Calcule
. Resposta:
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através do hemisfério superior
, com a normal apontando para fora da bola. O conteúdo é integral de superfície (fluxo) de campo vetorial, e podemos usar o Teorema da Divergência aplicando-o à superfície fechada formada por
mais o disco
em
.
Passo 2
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total através da superfície fechada
vale
onde
é a meia-esfera
.
Passo 3
Calculamos a divergência de
:
Passo 4
O volume de
(meia-esfera de raio 1) é
Logo
Passo 5
Restou excluir o fluxo através do disco
. Nesse disco a normal apontando para fora do volume é
e
em
. Portanto
Assim o fluxo apenas por
é igual ao fluxo total: