Seja S o hemisfério superior da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, z \geq 0, orientado para fora. Calcule
\iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d S
\operatorname{com} \vec{F}(x, y, z)=(0,0, z). Resposta: \pi.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec F(x,y,z)=(0,0,z) através do hemisfério superior S:\;x^2+y^2+z^2=1,\;z\ge0, com a normal apontando para fora da bola. O conteúdo é integral de superfície (fluxo) de campo vetorial, e podemos usar o Teorema da Divergência aplicando-o à superfície fechada formada por S mais o disco D em z=0.

Passo 2

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total através da superfície fechada S\cup D vale
\iint_{S\cup D}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iiint_{V}\!\bigl(\nabla\cdot\vec F\bigr)\,dV,
onde V é a meia-esfera x^2+y^2+z^2\le1,\;z\ge0.

Passo 3

Calculamos a divergência de \vec F:
\nabla\cdot\vec F =\frac{\partial}{\partial x}(0) +\frac{\partial}{\partial y}(0) +\frac{\partial}{\partial z}(z) =1.

Passo 4

O volume de V (meia-esfera de raio 1) é
\mathrm{Vol}(V) =\tfrac{1}{2}\,\frac{4\pi}{3}\,1^3 =\frac{2\pi}{3}.
Logo
\iint_{S\cup D}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iiint_{V}1\,dV =\frac{2\pi}{3}.

Passo 5

Restou excluir o fluxo através do disco D\colon z=0. Nesse disco a normal apontando para fora do volume é \vec n_D=(0,0,-1) e \vec F=(0,0,z)=(0,0,0) em z=0. Portanto
\iint_{D}\vec F\cdot\vec n_D\,dS=0.
Assim o fluxo apenas por S é igual ao fluxo total:
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS =\frac{2\pi}{3}.

Resposta

\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS =\frac{2\pi}{3}.

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