Seja S a superficie do parabolóide z=x^{2}+y^{2} limitado superiommente pelo plano z=2.
(a) Encontrar uma parametrizaçio da superficie S.
(b) Determinar a área da superficie S.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização e a área da parte do paraboloide z=x^{2}+y^{2} limitada acima por z=2. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas no plano xy, pois a projeção é o disco x^{2}+y^{2}\le2.

Passo 2

Escolhemos como parâmetros
0 \le r \le \sqrt{2}, \quad 0 \le \theta \le 2\pi,
e definimos a parametrização
\mathbf{r}(r,\theta) = \bigl(x,y,z\bigr) = \bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r^2\bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\mathbf{r}_r = \bigl(\cos\theta,\;\sin\theta,\;2r\bigr), \qquad \mathbf{r}_\theta = \bigl(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0\bigr).
O vetor normal (não unitário) é \mathbf{r}_r\times\mathbf{r}_\theta e seu módulo vale
\bigl\lvert \mathbf{r}_r\times\mathbf{r}_\theta\bigr\rvert = r\,\sqrt{1+4r^2}.

Passo 4

A área da superfície é dada por
\iint_{D} \bigl\lvert \mathbf{r}_r\times\mathbf{r}_\theta\bigr\rvert\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt2} r\,\sqrt{1+4r^2}\,dr\,d\theta.
Para o integral em r fazemos a substituição
u = 1 + 4r^2, \quad du = 8r\,dr,
que transforma o limite r=0\to u=1 e r=\sqrt2\to u=9.

Passo 5

Avaliaremos
\int_{0}^{\sqrt2} r\,\sqrt{1+4r^2}\,dr = \frac{1}{8}\int_{1}^{9} u^{1/2}\,du = \frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_{1}^{9} = \frac{1}{12}\bigl(27 - 1\bigr) = \frac{13}{6}.
Portanto
\text{Área}(S) = \int_{0}^{2\pi} \frac{13}{6}\,d\theta = \frac{13}{6}\cdot 2\pi = \frac{13\pi}{3}.Á

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{r}(r,\theta) = (r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r^{2}), com 0\le r\le\sqrt{2}, 0\le\theta\le2\pi.\n(b) \displaystyle \text{Área}(S)=\frac{13\pi}{3}Á.

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