Seja S a superficie dada pela parte do parabolóide x=2\left(y^{2}+z^{2}\right) delimitado por x=8 \mathrm{e}x=18.
(a) Encontrar uma parametrizaçio da superficie S.
(b) Determinar a área da superficie S.
Passo 1
O enunciado pede para parametrizar e calcular a área da parte do parabolóide
x=2\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)
que fica entre os planos x=8 e x=18. O conteúdo é parametrização de superfícies com coordenadas cilíndricas e o cálculo de área via integral de superfície \iint \|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\|\,du\,dv.
Passo 2
Para aproveitar a simetria circular, introduzimos coordenadas cilíndricas no plano yz:
y = r\cos\theta,\quad z = r\sin\theta.
Como x=2(y^2+z^2)=2r^2, os planos x=8 e x=18 impõem
2r^2=8\implies r=2, \qquad 2r^2=18\implies r=3.
Logo o domínio de parametrização é
2\le r\le3, \qquad 0\le\theta\le2\pi.
Passo 3
Definimos a parametrização \mathbf{r}(r,\theta) da superfície S por