Seja S a superficie dada pela parte do parabolóide x=2\left(y^{2}+z^{2}\right) delimitado por x=8 \mathrm{e} x=18.
(a) Encontrar uma parametrizaçio da superficie S.
(b) Determinar a área da superficie S.

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar e calcular a área da parte do parabolóide
x=2\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)
que fica entre os planos x=8 e x=18. O conteúdo é parametrização de superfícies com coordenadas cilíndricas e o cálculo de área via integral de superfície \iint \|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\|\,du\,dv.

Passo 2

Para aproveitar a simetria circular, introduzimos coordenadas cilíndricas no plano yz:
y = r\cos\theta,\quad z = r\sin\theta.
Como x=2(y^2+z^2)=2r^2, os planos x=8 e x=18 impõem
2r^2=8\implies r=2, \qquad 2r^2=18\implies r=3.
Logo o domínio de parametrização é
2\le r\le3, \qquad 0\le\theta\le2\pi.

Passo 3

Definimos a parametrização \mathbf{r}(r,\theta) da superfície S por
\mathbf{r}(r,\theta) =\bigl(x(r,\theta),\,y(r,\theta),\,z(r,\theta)\bigr) =\bigl(2r^2,\;r\cos\theta,\;r\sin\theta\bigr).

Passo 4

Calculamos os vetores tangentes:
\mathbf{r}_r=(4r,\;\cos\theta,\;\sin\theta), \qquad \mathbf{r}_\theta=(0,\;-r\sin\theta,\;r\cos\theta).
O produto vetorial é
\mathbf{r}_r\times\mathbf{r}_\theta =\bigl(r,\;-4r^2\cos\theta,\;-4r^2\sin\theta\bigr)
e seu módulo é
\bigl\|\mathbf{r}_r\times\mathbf{r}_\theta\bigr\| =\sqrt{r^2+16r^4} =r\sqrt{1+16r^2}.

Passo 5

A área da superfície é
A=\iint_{D}\bigl\|\mathbf{r}_r\times\mathbf{r}_\theta\bigr\|\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{2}^{3}r\sqrt{1+16r^2}\,dr\,d\theta =2\pi\int_{2}^{3}r\sqrt{1+16r^2}\,dr.
Fazendo u=1+16r^2, du=32r\,dr, quando r=2, u=65; quando r=3, u=145. Então
\int_{2}^{3}r\sqrt{1+16r^2}\,dr =\frac{1}{32}\int_{65}^{145}u^{1/2}\,du =\frac{1}{32}\,\Bigl[\tfrac{2}{3}u^{3/2}\Bigr]_{65}^{145} =\frac{1}{48}\Bigl(145^{3/2}-65^{3/2}\Bigr).
Multiplicando por 2\pi resulta
A=\frac{\pi}{24}\Bigl(145\sqrt{145}-65\sqrt{65}\Bigr).

Resposta

(a) Uma parametrização é
\mathbf{r}(r,\theta)=\bigl(2r^2,\;r\cos\theta,\;r\sin\theta\bigr), \quad 2\le r\le3,\;0\le\theta\le2\pi.
(b) A área da superfície é
A=\frac{\pi}{24}\Bigl(145\sqrt{145}-65\sqrt{65}\Bigr).

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