Seja S a superficie do cone z^{2}=x^{2}+y^{2} que exti no interior do parabolóide z=2\left(x^{2}+y^{2}\right).
(a) Encontrar uma parametrixação da superficie S.
(b) Determinar a frea da superficie S.
Passo 1
O enunciado pede (a) uma parametrização e (b) a área da parte do cone
z^{2}=x^{2}+y^{2}
que fica “dentro” do paraboloide
z = 2\,(x^{2}+y^{2}).
Na prática, só interessa o ramo superior do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e o círculo de interseção com o paraboloide. Usaremos coordenadas cilíndricas (r,\theta) para descrever o cone e achar o ponto de corte.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e no ramo superior do cone z=r. A condição de interseção com o paraboloide é
r \;=\; 2\,r^{2} \quad\Longrightarrow\quad r=0 \\ \text{ou}\\ r=\tfrac12.
Logo o trecho do cone dentro do paraboloide corresponde a
A =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1/2}r\sqrt{2}\;dr\,d\theta =\sqrt{2}\,\Bigl(\int_{0}^{2\pi}d\theta\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{1/2}r\,dr\Bigr) =\sqrt{2}\,(2\pi)\,\frac{(1/2)^{2}}{2} =\frac{\pi\,\sqrt{2}}{4}.