Seja S a superficie do cone z^{2}=x^{2}+y^{2} que exti no interior do parabolóide z=2\left(x^{2}+y^{2}\right).
(a) Encontrar uma parametrixação da superficie S.
(b) Determinar a frea da superficie S.

Passo 1

O enunciado pede (a) uma parametrização e (b) a área da parte do cone
z^{2}=x^{2}+y^{2}
que fica “dentro” do paraboloide
z = 2\,(x^{2}+y^{2}).
Na prática, só interessa o ramo superior do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e o círculo de interseção com o paraboloide. Usaremos coordenadas cilíndricas (r,\theta) para descrever o cone e achar o ponto de corte.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e no ramo superior do cone z=r. A condição de interseção com o paraboloide é
r \;=\; 2\,r^{2} \quad\Longrightarrow\quad r=0 \\ \text{ou}\\ r=\tfrac12.
Logo o trecho do cone dentro do paraboloide corresponde a
0 \le r \le \tfrac12, \quad 0 \le \theta < 2\pi.
Uma parametrização natural é
\varphi(r,\theta) = \bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r\bigr),
com (r,\theta)\in [0,\tfrac12]\times[0,2\pi].

Passo 3

Para calcular a área usamos
dS = \bigl\lvert \phi_{r}\times \phi_{\theta}\bigr\rvert\,dr\,d\theta.
Aqui
\phi_{r} = (\cos\theta,\;\sin\theta,\;1), \quad \phi_{\theta} = (-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0).
O produto vetorial tem módulo
\bigl\lvert \phi_{r}\times \phi_{\theta}\bigr\rvert =\sqrt{(r\cos\theta)^{2}+(r\sin\theta)^{2}+r^{2}} =\sqrt{2\,r^{2}} = r\,\sqrt{2}.

Passo 4

A área da superfície é
A =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1/2}r\sqrt{2}\;dr\,d\theta =\sqrt{2}\,\Bigl(\int_{0}^{2\pi}d\theta\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{1/2}r\,dr\Bigr) =\sqrt{2}\,(2\pi)\,\frac{(1/2)^{2}}{2} =\frac{\pi\,\sqrt{2}}{4}.

Resposta

(a) \displaystyle \varphi(r,\theta)=(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r),
\;0\le r\le\frac12,\;0\le\theta<2\pi.
(b) \displaystyle A=\frac{\pi\,\sqrt{2}}{4}.

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